در این پایان نامه هدف اصلی ما اثبات دو قضیه درباره تعداد قطعه ژئودزیک های بین دو نقطه روی منیفلدهای ریمانی با انحناء منفی و غیرمثبت می باشد. برای رسیدن به این هدف طی سه فصل مطالب را به شرح زیر تنظیم کرده ایم. در فصل اول تعاریف و قضایای مقدماتی را برای رسیدن به تعریف انحناء و انحناء مقطعی در یک منیفلد ریمانی آورده و در پایان جهت تعریف یک منیفلد همبند ساده، هموتوپی نگاشت ها و گروه اساسی را معرفی نموده ایم. در فصل دوم ابتدا ژئودزیک در یک منیفلد ریمانی و سپس منیفلدهایی که در آن بین هر دو نقطه اش ژئودزیکی وجود دارد را تعریف کرده ایم. همچنین نشان داده ایم شرایطی وجود دارد که تحت آن شرایط این ژئودزیک ها منحصر به فرد باشد.بعد از تعریف مجموعه ها و توابع محدب در منیفلدها، توجه خود را معطوف به منیفلدهای ریمانی با انحناء x<0 کرده و برای بررسی ژئودزیک ها در چنین منیفلدهایی، با ایجاد شرایط خاص روی منیفلدها، ژئودزیک ها را به نوعی با ژئودزیک های فضای شناخته شده هذلولوی مربوط نموده ایم. در فصل سوم بعد از اثبات دولم و قضیه مقدماتی ثابت کرده ایم که روی یک منیفلد ریمانی کامل از بعد n با انحناء مقطعی x<0، دو نقطه که ماکزیمم موضعی برای تابع فاصله (تابعی با دو مشخصه) باشد، توسط حداقل 2n+1 قطعه ژئودزیک به هم وصل می شود. در یک حالت ساده تر نشان داده ایم که اگر یکی از نقاط ثابت و x<0 باشد، آنگاه دو نقطه توسط حداقل n+1 قطعه ژئودزیک به هم وصل می شود. در اثبات از خواص محدب بودن تابع فاصله برای متریک های با انحناء منفی استفاده کرده ایم. در پایان نیز این احتمال را مطرح کردیم که با حذف بعضی مفروضات از دو قضیه اصلی پایان نامه، نتایج همچنان برقرار خواهد بود.