یک گراف را بدون پنجه گوییم هرگاه دارای رأسی نباشد که دارای سه همسایه ی دو به دو نامجاور باشد. در نگاه اوّل، این طور به نظر می رسد که انواع بسیار زیادی از گراف های بدون پنجه وجود دارد. به عنوان مثال، گراف های یالی، گراف بیست وجهی، مکمل گراف های منشوروار و گراف اشلفلی (یک گراف بسیار متقارن زیبا با ‎??‎‎ رأس) را می توان به عنوان نمونه هایی از گراف های بدون پنجه نام برد. به علاوه، اگر رئوس یک گراف را روی یک دایره مرتّب کنیم، سپس تعدادی بازه روی دایره انتخاب کرده و رئوس داخل بازه ها را به یک دیگر متّصل کنیم؛ گرافی که از این روش به دست می آید، بدون پنجه است. مثال های بسیار زیاد دیگری مانند گراف های گفته شده وجود دارند که به عنوان گراف های بدون پنجه ی ‎«اولیّه»‎ در نظر گرفته می شوند. در واقع، این امکان وجود دارد که بتوان یک قضیه ی ساختاری برای گراف های بدون پنجه ارائه کرد. سیمور و چادنووسکی در یک سری از هفت مقاله ثابت کرده اند که هر گراف بدون پنجه را می توان از یکی از گراف های بدون پنجه ی اولیّه و با استفاده از اعمال گسترشی ساده به دست آورد. در این پایان نامه، گراف های بدون پنجه را بررسی کرده، صورت دقیق قضیه ی رده بندی گراف های بدون پنجه و شمایی از اثبات آن را بیان خواهیم کرد. در آخر سعی می کنیم با استفاده از قضیه ی ساختاری ذکر شده، در مورد عدد رنگی گراف های بدون پنجه، نتایجی را ارائه دهیم.

رنگ آمیزی برداری متعامد گراف ها چکیده فرض کنید f یک میدان ، s ، a ، b و c زیرمجموعه هایی از f ، d یک عدد صحیح مثبت و تابع f (x , y) یک فرم دوخطی ناتبهگون روی باشد ، یک نمایش برداری از گراف ساده g با رأس های , … , عبارت است از لیست بردارهای , … , متعلق به به طوری که بردار به رأس تخصیص داده شود ، مولفه های هر بردار در s قرار گیرد ، برای هر i و j ،a f ( , ) ، اگر با در g مجاور باشد ، آن گاهb f ( , ) و اگر با در g نامجاور باشد ، آن گاهc f ( , ) . این تعریف در سال ???? توسط پارسنز و پیسانسکی ارائه شد . سپس در سال ???? جرالد هاینس و همکارانش با اختیار مجموعه های a = (0 , ?) ، b = { 0 } ، f = c = s و f به عنوان تابع دو خطی ضرب داخلی ، یک نوع خاص از نمایش برداری را برای گراف g در نظر گرفته و آن را رنگ آمیزی برداری گراف g نامیدند و بر این اساس گراف های k- انتخاب پذیر برداری و k- انتخاب پذیر زیرفضایی را که معادل برداری تعریف گراف های k- انتخاب پذیر است ، معرفی نمودند . دسته بندی تمامی گراف های ?- انتخاب پذیر برداری و ?- انتخاب پذیر زیرفضایی ، معرفی نمایش های برداری مختلف و نتایج مربوط به آن و بیان چند کاربرد از نمایش های برداری موضوع اصلی این پایان نامه را تشکیل می دهد .

رنگ آمیزی گراف یکی از مفاهیم عمیق و کاربردی در نظریه گراف می باشد، که طی سال های اخیر شاهد پیشرفت های بسیاری در آن بوده ایم. پیدایش مفهوم رنگ آمیزی رأسی و معرفی آن عرصه را برای پیشرفت انواع دیگر رنگ آمیزی مانند رنگ آمیزی یالی هموار نمود. یکی از انواع رنگ آمیزی گراف، رنگ آمیزی تمام نقره ای است. رنگ آمیزی تمام نقره ای گراف g یک k-رنگ آمیزی رأسی از g است، بطوریکه برای همه ی رئوس v عضوی از v(g) ، هر رنگ دقیقا یک مرتبه در همسایه های بسته v پدیدار شود. گرافی که دارای رنگ آمیزی تمام نقره ای باشد، گراف تمام نقره ای می گویند. در این پایان نامه سعی کرده ایم تا با بیان تاریخچه مختصر از رنگ آمیزی رأسی، یالی، به بررسی نتایج بدست آمده در گراف های تمام نقرهای و تمام نقره ای مکعبی بپردازیم. همچنین ماتریس و مکعب نقره ای را معرفی و خواص آن ها را بررسی می کنیم.

فرض کنید g‎ یک گراف متناهی، غیرجهت دار و ساده با مجموعه رئوسv(g) و مجموعه یال های‎e(g) ‎ باشد. یک ‎ -kرنگ آمیزی رأسی از گراف g ، یعنی تخصیص ‎ k رنگ به رئوس g ‎به گونه ای که رأس های مجاور هم رنگ نباشند. اگر در گراف‎ g ‎یک -‎ k ‎رنگ آمیزی وجود داشته باشد به طوری که اختلاف اندازه ی کلاس های رنگی، حداکثر یک باشد، آنگاه گراف g را -k رنگ پذیر منصفانه گویند. کوچکترین عدد صحیح k ‎که به ازای آن گرافg ،‎-k ‎رنگ پذیر منصفانه است را عدد رنگی منصفانه گویند و با نماد ?_= (g) ‎ نشان می دهند. رنگ آمیزی منصفانه اولین بار در سال 1973 ‎توسط میر معرفی شده است. میر حدس زد که برای هر گراف همبند g، به جز گراف کامل و دور فرد، ‎?_= (g)??(g). این حدس به حدس رنگ آمیزی منصفانه ‎( ecc )‎ معروف شد و مورد توجه محققان قرار گرفت. ‎ برخلاف رنگ آمیزی رأسی، اگر گرافی دارای یک ‎ -k‎رنگ آمیزی منصفانه باشد، لزوماً‎ دارای- (k+1) ‎رنگ آمیزی منصفانه نیست. به عبارت دیگر گراف هایی با عدد رنگی منصفانه کمتر از ‎?(g)‎ وجود دارند که دارای?(g) -‎رنگ آمیزی منصفانه نیستند. چن و همکارانش در سال 1994 ‎حدس زدند که اگر ‎ gیک گراف همبند غیر از گراف کاملk_n ‎ و دور فرد c_(2n+1) و گراف دوبخشی کامل ‎k_(2n+1,2n+1) باشد، آنگاهg ‎،k ‎ -‎رنگ پذیر منصفانه است. این حدس به حدس? ‎ -‎رنگ آمیزی منصفانه ‎( e?cc )‎ معروف شد. مشاهده می شود که ‎( e?cc )‎ قوی تر از ‎( ecc )‎ است. ‎در این پایان نامه ضمن مروری بر اهمیت حدس ?‎ -‎رنگ آمیزی منصفانه برای کلاس های خاصی از گراف ها از جمله گراف های دوبخشی، درخت ها، گراف های کنسر، گراف های بازه ای، گراف های سری-موازی، گراف های با تباهندگی کم و گراف های با عرض درختی کران دار، به طور ویژه به بررسی دقیق ‎( e? cc )‎ برای گراف های مسطح و گراف های مسطح بیرونی می پردازیم.

فرض کنیمg یک گراف همبند نابدیهی باشد. برای رأسv از گراف g، مجموعه رأس های مجاور بهv را با n(v) نشان می دهیم. فرض کنید که c? v(g) ? nیک رنگ آمیزی رأسی ازg باشد که رأس های مجاور ممکن است، رنگ های یکسانی داشته باشند. ?(v)، مجموع رنگ های رئوسn(v) است. اگر برای هر دو رأس مجاورu وv داشته باشیم ?(u)??(v)، آن گاهc را یک رنگ آمیزی جمعی ازg می نامیم. مینیمم تعداد رنگ های مورد نیاز در یک رنگ آمیزی جمعی ازg را عدد رنگی جمعی نامیم و با?(g) نمایش می دهیم. عدد رنگی جمعی گراف g، هرگز از عدد رنگی?(g) تجاوز نمی کند و برای هر جفتa وb از اعداد صحیح مثبت که a?b، یک گراف همبند مانندg وجود دارد که?(g)=a و ?(g)=b. فرض کنیدk وn اعداد صحیح مثبتی باشد که k?n. یک گراف گراف همبندg از مرتبه یn وجود دارد که ?(g)=k، اگر و تنها اگر k?n-1. چندین نتیجه ی دیگر نیز راجع به عدد رنگی جمعی ارائه شده است. برای یک k-رنگ آمیزی جمعی c از گراف g، برد جمعی از g، کوچک ترین عدد صحیح مثبت k است، به طوری که یک k-رنگ آمیزی جمعی c از g با استفاده از رنگ های متعلق به مجموعه ی{1,2,…,k} وجود داشته باشد که آن را با?(g) نمایش می دهیم. ثابت می کنیم برای هر گراف مسطح g، ?(g)?468. این بهبود یافته ی کران قبلی ?(g)?5544 است که توسط نورین حاصل شد. در اثبات از قضیه ی صفرهای ترکیبیاتی و عدد رنگ آمیزی ابرگراف ها استفاده می کنیم. ما هم چنین ثابت می کنیم که برای گراف های مسطح 3-رنگ پذیر، ?(g)?36 و برای هر گراف مسطح با کمر حداقل 13، ?(g)?4. ما ثابت می کنیم که برای هر r?2، یک گراف g_r با عدد رنگی r، وجود دارد که هیچ رنگ آمیزی جمعی روی یک گروه آبلی متناهی از مرتبه ی r، ندارد.

افراز کراوز گراف g عبارت است از افراز مجموعه ی یال e(g) به زیرگراف کامل که آنها را خوشه نیز گویند. تعداد خوشه ها شامل راس v را مرتبه v گویند و مرتبه ی افراز را بیشترین مرتبه ی همه رئوس g می نامند. بعد کراوز g به صورت کوچکترین مرتبه ی افراز روی همه ی افرازهای کراوز g تعریف شده است.و با نماد dim(g) نمایش می دهند.توجه کنید که اگر g همبند نباشد در این صورت بعد آن بیشترین بعد تحت همه ی مولفه های آن است پس ما تنها گراف های همبند را در نظر خواهیم گرفت .مسأله کلی تعیین بعد گراف داده شده را با نماد kdim نشان می دهند و مساله تعیین این که آیا بعد حداکثر برابر k است را با نماد kdim(k) در نظر می گیریم و سوالی مشابه برای گراف هایی با حداکثر درجه d که با نماد kdim(k,d) نمایش می دهیم.

فرض کنید مجموعه یال_های e(g) باشد. یک k-رنگ_آمیزی رأسی مجاز از گراف g، یعنی تخصیص k رنگ به رئوس g به گونه_ای که رأس_های مجاور هم رنگ نباشند. یک رنگ_آمیزی لیستی تعمیمی از مفهوم رنگ_آمیزی معمولی است، به این ترتیب که به هر یک از اجزای گراف، مجموعه_ی دلخواه از رنگ_ها نسبت داده می_شود و برای رنگ_آمیزی هر جزء باید از رنگ لیست متناظر آن استفاده شود و یک رنگ_آمیزی مجاز برای گراف به_دست آید. لیست تخصیصی l برای گراف g، k-یکنواخت است اگر برای هر v 2 v (g) داشته باشیم jl(v)j = k ، که در آن l(v) لیست رنگ_های اختصاص داده شده به v است. یک گراف k-انتخاب_پذیر گفته می_شود هر گاه برای هر لیست k-یکنواخت داده شده، حداقل یک رنگ_آمیزی لیستی داشته باشد. از رأس_ها ?n(g)k? در یک رنگ_آمیزی لیستی اگر همه لیست_ها از اندازه k باشند و هر رنگ در حداکثر ظاهر شود، آن_گاه رنگ_ آمیزی لیستی منصفانه نامیده می_شود. یک گراف k-انتخاب_پذیر منصفانه گفته می_شود اگر برای هر لیست k-یکنواخت داده شده، حداقل یکرنگ_آمیزی لیستی منصفانه داشته باشد. رنگ_آمیزی لیستی منصفانه اولین بار در سال 2003 توسط کاستاچکا و دیگران مطرح شد. در این پایان_نامه به مطالعه مفهوم k-انتخاب_پذیر منصفانه برای کلاس_های خاصاز گراف_ها از جمله جنگل_ها، گراف_های بازه_ای، گراف_های با تباهندگی کم، گراف_های سری-موازی، گراف_های مسطح، گراف_های مسطح بیرونی و رنگ_آمیزی لیستی منصفانه و عرض درختی گراف_ها می_پردازیم

در رنگ آمیزی یالی ستار ه ای، یال های گراف به گونه ای رنگ می شوند که هیچ دو یال مجاوری هم رنگ نباشند و همچنین دور یا مسیر به طول چهار 2-رنگی ایجاد نشود. کمترین تعداد رنگ مورد نیاز برای رنگ آمیزی یالی ستاره ای نامیده می شود. در این پایان نامه ضمن مطالعه نتایج موجود پیرامون رنگ آمیزی یالی ستاره ای و بررسی رنگ آمیزی های مرتبط بااین رنگ آمیزی، یک کران بالا برای عدد رنگی یالی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی دو گراف دل خواه ارائه می دهیم. همچنین عدد رنگی یالی ستاره ای حاصل ضرب دکارتی دو مسیر را به طور دقیق به دست آورده و یک کران تیز برای عدد رنگی یالی ستاره ای ابرمکعب ها ارائه می کنیم.