فرض کنیم ‎$r$‎ حلقه‎‎‎‎ای جابه‎جایی،‎ نوتری و با عنصر یکه ناصفر باشد. فرض کنیم ‎$i$‎ و ‎$j$‎ ایده‎آل‎هایی از ‎$r$‎ و ‎$s$‎ یک زیر مجموعه بسته ضربی در ‎$r$‎ باشد. راتلیف نشان داد که دنباله ‎$$ass_r‎, ‎r/overline{i}subseteqass_r‎, ‎r/overline{i^{ ext{2}}}subseteqass_r‎, ‎r/overline{i^{ ext{3}}}subseteqcdots$$‎ از ایده‎آل‎های وابسته، صعودی و ایستا به یک مجموعه می‎‎باشد که آن را با ‎$overline{a^ast}(i)$‎ نشان می‎دهیم.‎ مک‎‎آدام به کمک حلقه ریس نسبت به ایده‎‎آل ‎$i$‎، ‎$r[it,t^{- ext{1}}]$‎، یک توصیف جالب از این مجموعه ارائه داد. در این رساله به کمک حلقه‎‎های مقداریاب ریس ایده‎‎آل ‎$i$‎ توصیف دیگری از ‎$overline{a^ast}(i)$‎ ارائه می‎‎دهیم و به کمک آن به یک سوال از مک آدام پاسخ می‎دهیم.‎ سپس، نظریه رشته‎‎های فرامجانبی روی ایده‎‎آل ‎$i$‎ را معرفی می‎‎کنیم و نشان می‎‎دهیم که اگر ‎$r$‎ موضعی باشد، طول هر رشته فرامجانبی ماکسیمال روی ایده‎‎آل ‎$i$‎ برابر است با ‎$qacogd (i):=min{dim r^ast/ir^ast+zmid:zinmin (r^ast)}$‎ و به وسیله آن دو خانواده از حلقه‎‎های موضعی را شناسایی می‎کنیم.‎ همچنین، رابطه‎‎ی بین صفر شدن مدول کوهمولوژی موضعی تعمیم یافته ‎$h_{i,j} ^{dim r} (r)$‎ و توپولوژی‎‎های تعریف شده توسط صافی‎‎های ‎${(i^n+j)r_scap r}_{ngeq ext{0}}$‎ و ‎${(i^n)_a ^{(r/j)}}_{ngeq ext{0}}$‎ را مورد مطالعه قرار می‎دهیم.‎ در نهایت، به بررسی رابطه بین بستار صحیح ایده‎‎آل ‎$i$‎ نسبت به ‎$r$‎ -مدول آرتینی ‎$h_{frak m,j} ^{dim r} (r)$‎ و ‎$r$‎ -مدول نوتری ‎$r/j$‎ می‎پردازیم.

فرض کنید i یک ایده ال از حلقه جابجایی و نوتری r باشد به طوری که ara(i)=t?2.هدف این پایان نامه نشان دادن وجود یک –i رشته صافی منظم y_1,…,y_t برای r می باشد به طوری که ?i=?((y_1,…,y_t)) و cd((y_1,…,y_i ),r)=i برای هر 1?i<t. همچنین نشان می دهیم ara(i)?dim??r+1? که تعمیمی از نتایج کرونکر (1882) می باشد . بعلاوه برخی کاربردها مورد توجه قرار گرفته اند.

معادله ی کیلینگ ـ یانو برای تانسور پادمتقارن را می توان به صورت نوشت. در این معادله، ماکزیمم تعداد جواب ها وجود دارد اگر و تنها اگر دارای انحنای ثابت باشد. در این تحقیق روش های پیدا کردن تانسورهای کیلینگ ـ یانو، تانسورهای کیلینگ ـ یانو همدیس و بردارهای کیلینگ همدیس در فضازمان ها با یک بردار کیلینگ متعامد ابررویه ای مورد بررسی قرار می گیرد. همچنین در اینجا، رابطه ی بین تانسورهای کیلینگ و تانسورهای کیلینگ ـ یانو بیان و بررسی می شود.