مدلهای گارچ در فضاهای هیلبرت پایان نامه حاضر شامل دو بخش می باشد. در قسمت اول مدلهای اتورگرسیو تعمیم یافته مشروط به ناهمگنی واریانس در فضاهای هیلبرت را معرفی، مفاهیم ریاضی مورد نیاز در تحلیل این مدلها در دامنه زمان را مطرح کرده و آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. بر اساس پیشرفتهایی که اخیرا در زمینه تئوری داده های تابعی و آماره های عملگری ایجاد شده است، فرآیندهایی که دارای مقادیر در فضاهای هیلبرت هستند در کانون توجه آماردانان قرار گرفته اند. در نظر گرفتن داده ها به صورت توابع و به کارگیری مدلها و روشهای آنالیز تابعی به نظر بسیار پرکاربرد تر از روشهای متداول کلاسیک در تجزیه و تحلیل سریهای زمانی می آیند. در بخش اول این پایان نامه همچنین به بررسی شرایط وجودی و ایستایی مدلهای اتورگرسیو تعمیم یافته مشروط به ناهمگنی واریانس در فضاهای هیلبرت پرداخته و یک روش جدید برآوردیابی بر اساس مولفه های اصلی جهت داده های تابعی ارائه می کنیم. نهایتا بر اساس این روش جدید برآوردیابی به شبیه سازی این مدلها در دو حالت خاص می پردازیم. در قسمت دوم، به بررسی امید شرطی پتیس مربوط به عناصر تصادفی ضعیف در فضاهای باناخ جدایی ناپذیر پرداخته و خواص اصلی این نوع امید شرطی را برای عناصر تصادفی ضعیف مرتبه اول که به صورت عددی اندازه پذیر بوده و مقادیر خود را در دوگان یک فضای باناخ جدایی ناپذیر اتخاذ می کنند ثابت می کنیم. همچنین در دو مثال مشخص برای عناصر تصادفی در فضاهای باناخ جدیی ناپذیر که به صورت عددی و نه به صورت قوی اندازه پذیر هستند، این امید شرطی محاسبه می شود.