در این تحقیق حل تحلیلی برای تابع تقسیم نوسانگر هماهنگ در قالب نسخه دوم مکانیک آماری تسالیس با شاخص غیرمقداری در محدوده بین یک و دو به‏دست آورده شد. وابستگی این تابع به پارامترهای دما و شاخص غیرمقداری بررسی شد. معلوم شد در هر دمای معین، تابع تقسیم ارتعاشی غیرمقداری به‏ازای هر درجه غیرمقداری، از تابع تقسیم ارتعاشی مقداری بزرگ‏تر است. با افزایش دما و شاخص غیرمقداری تفاوت این دو تابع تقسیم بیشتر می‏شود. مقایسه‏ای بین تابع احتمال هر دو نوسانگر مقداری و غیرمقداری انجام شد و مشخص شد در هر دمای معین احتمال حضور در سطح پایه برای سامانه‏های غیرمقداری کمتر از احتمال حضور در سطح پایه برای سامانه مقداری است و در مقابل احتمال حضور در سطوح برانگیخته بالایی برای سامانه‏های غیرمقداری بیشتر از سامانه‏ مقداری است که با افزایش شاخص غیرمقداری این تفاوت‏ها بیشتر می‏شود. هم‏چنین مشخص شد در دمای نزدیک به صفر کلوین، در سامانه‏های غیرمقداری احتمال حضور برای سطح پایه مقدار مخالف یک و برای سطوح برانگیخته بالایی مقادیر مخالف صفردارد که با افزایش شاخص غیرمقداری احتمال حضور در سطوح برانگیخته بیشتر می‏شود و از احتمال سطح پایه کاسته می‏شود. هم‏چنین عبارتی برای انرژی داخلی نوسانگر هماهنگ غیرمقداری در قالب نسخه دوم ارائه گردید. عبارت حاصله به دو پارامتر دما وشاخص غیرمقداری وابسته است. رفتار دمایی آن با انرژی داخلی نوسانگر هماهنگ مقداری مقایسه شد. معلوم شد رفتار دمایی انرژی داخلی در تمام محدوده اعتبار شاخص غیرمقداری یکسان نیست. در دمای صفر کلوین انرژی داخلی سامانه‏های غیرمقداری برخلاف سامانه‏های مقداری برابر با انرژی نقطه صفر نیست. هم‏چنین عبارتی برای ظرفیت گرمایی ارتعاشی غیرمقداری ارائه شد و رفتار دمایی آن برای شاخص‏های غیرمقداری مختلف بررسی وبا کمیت همتای آن در ترمودینامیک بولتزمن-گیبس، سامانه مقداری، مقایسه شد. مشخص شد که در دماهای بالا ظرفیت گرمایی ارتعاشی غیرمقداری مشابه با کمیت متناظر آن در سامانه مقداری به یک مقدار حدی میل می‏کند. هم‏چنین در حد دمایی صفر کلوین نیز به مقدار صفر میل می‏کند اما شیب آن متفاوت از ظرفیت گرمایی ارتعاشی مقداری است. رفتار دمایی ظرفیت گرمایی به‏واسطه ارتباط آن با کمیت افت‏وخیز انرژی داخلی که این کمیت نیز به نوبه خود به همبستگی‏های آماری و شاخص غیرمقداری مرتبط است، قابل توضیح است. هم‏چنین در این تحقیق انرژی داخلی سامانه‏ای متشکل از نوسانگر هماهنگ مستقل یکسان در قالب نسخه‏های دوم وچهارم مکانیک آماری تسالیس به‏دست آورده ‏شد. مشخص شد در قالب هر دو نسخه انرژی‏های کوانتومی و انرژی داخلی متوسط این سامانه علی‏‏رغم فرض استقلال ذرات سامانه، کمیت‏هایی همبسته و غیرمقداری هستند. اما معلوم گردید در تمامی محدوده شاخص غیرمقداری، رفتار انرژی داخلی در قالب نسخه دوم با روند انرژی‏های کوانتومی بر حسب افزایش تعداد ذرات سامانه مغایرت دارد در حالی‏که چنین رفتار نابهنجاری برای انرژی داخلی در قالب نسخه چهارم مشاهده نشد. هم‏چنین مطالعه‏ای بر روی نانوخوشه‏ها صورت گرفت. رفتارکمیت انرژی پیکربندی به‏ازای یک ذره (یک اتم) بر حسب تعداد اتم‏های تشکیل دهنده نانوخوشه برای نانوخوشه‏های با پتانسیل برهم‏کنشی جفت و هم‏چنین نانوخوشه‏های با پتانسیل برهم‏کنشی چندذره‏ای بررسی شد. معلوم گردید رفتار این کمیت با افزایش تعداد اتم‏های سامانه برای هر دو دسته از نانوخوشه‏ها کاهشی است. این رفتار نشان دهنده غیرمقداری بودن و از نوع زیرمقداری بودن انرژی پیکربندی در هر دو دسته از نانوخوشه‏هاست. در واقع غیرمقداری بودن انرژی در این سامانه‏ها به وجود همبستگی‏های میکروسکوپی در این سامانه‏ها برمی‏گردد. هم‏چنین رفتار کمیت انرژی پیکربندی به‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏‏ازای یک فونون با افزایش تعداد فونون‏های تشکیل‏دهنده نانوخوشه‏ها بررسی شد. مشخص شد رفتار این کمیت برای هر دو دسته از نانوخوشه‏ها یکسان نیست. رفتار این کمیت برای نانوخوشه‏های با پتانسیل برهم‏کنشی جفت، کاهشی و برای نانوخوشه‏های با پتانسیل برهم‏کنشی چندذره‏ای افزایشی است. هم‏چنین معلوم گردید همبستگی‏های میکروسکوپی موجود در نانوخوشه‏های دارای پتانسیل چندذره‏ای معادل با همبستگی‏های آماری سامانه‏ متشکل از نوسانگر هماهنگ یکسان در قالب نسخه چهارم مکانیک آماری تسالیس با شاخص همبستگی کوچک‏تر از یک است. معلوم گردید این سامانه‏ها قابل توصیف به کمک این آمار هستند در حالی‏که این آمار قادر به توصیف نانوخوشه‏های دارای پتانسیل کوتاه‏برد و دوذره‏ای نمی‏باشد. در بخش دیگر این پایان نامه، تحقیقی بر روی ساختارهای پایدار نانوخوشه‏های مولکولی مختلف آدامنتین صورت گرفت و نقاط ذوب این نانوخوشه‏ها تعیین شد. معلوم گردید با افزایش اندازه نانوخوشه نقطه ذوب آن‏ به نقطه ذوب سامانه‏ ماکروسکوپی نزدیک می‏شود. با افزایش تدریجی اندازه نانوخوشه دماهای ذوب نانوخوشه‏ها به طور منظم افزایش نمی‏یابند، به دلیل این‏که ساختارها با افزایش ذرات به طرف تشکیل ساختار متکامل و پایدار بیست وجهی پیش می‏روند، از این‏رو بعضی از ساختارها نسبت به هم خانواده نزدیک خود ناپایدارتر هستند و نقطه ذوب اندکی کمتر دارند. در واقع این روند تغییر نقطه ذوب نانوخوشه‏ها شبیه افزایش الکترون‏ها در یک دوره از جدول تناوبی می‏باشد که تا رسیدن به آرایش پوسته بسته گازهای نجیب ساختارها متکامل می‏شوند.