چکیده فرض کنید i ایده آلی از حلقه ی چندجمله ای r=[x_1,…,x_n]باشد. دو جبر وابسته ی مهم به ایده آل iجبر متقارن و جبر ریس می باشند . در این پایان نامه جبر ریس ایده آل های تک جمله ای خالی از مربع را مطالعه می کنیم. نشان می دهیم که ایده آل تعریف جبر ریس، ایده آل های یالی از نوع فیبره است برای ایده آل تک جمله ای دلخواه از درجه ی بزر گتر از?، یک گراف مولد نسبت می دهیم به این صورت که رأس های این گراف، مولدهای ایده آل هستند و دو رأس را به هم وصل می کنیم، اگر بزرگترین مقسوم علیه مشترک آن ها مخالف ? باشد. نشان می دهیم زمانی که i ایده آل تک جمله ای خالی از مربع باشند به طوری که گراف مولد وابسته حداکثر پنج رأس داشته باشد آن گاه i دارای عدد رابطه نوعی حداکثر ? است. در این حالت ایده آل تعریف جبر ریس را مشخص می کنیم و یک تعبیر ترکیبیاتی ارا ئه می دهیم وکلاس های جدیدی از ایده آل های از نوع خطی می سازیم.

در این پایان نامه به تحلیل تکینگی خم های جبری می پردازیم.

قضیه ی نشاننده پلوکری نشان می دهد که می توان گراسمنین ها را در فضای تصویری از مرتبه نشاند و هر نقطه را با مختصات همگنی که مختصات پلوکری نام دارد نمایش داد. حلقه ی مختصاتی همگن گراسمنین ها دارای خواص هندسی و جبری شامل مثلث بندی چندوجهی ها است. نشان می هیم این حلقه را می توان به صورت خوشه به خوشه ارایه کرد. جبرهای خوشه ای که توسط فومین و زلوینسکی در سال ???? معرفی شد در واقع تعمیم طبیعی از چنین جبرهای مختصاتی است. در این پایان نامه توصیفی از حلقه مختصاتی همگن گراسمنین ها و جبرهای خوشه ای مربوطه ارایه می دهیم.

کارتان و کلینگ، جبرهای لی مختلط نیم ساده متناهی بعد و سیستم های ریشه ای وابسته را با استفاده از ماتریس های کارتان و نمودارهای دینکین رده بندی کردند. فومین-زلوینسکی در سال 2003 جبرهای خوشه ای را معرفی کردند که به طور خلاصه شامل یک درخت منظم است که به هر رأس یک خوشه و یک ماتریس نسبت داده می شود. این رأس ها توسط عملی با عنوان تحول با هم مرتبط می شوند. همچنین آنها جبرهای خوشه ای هندسی را که تعمیمی از حلقه مختصاتی گرسمنین ها است معرفی کردند. بعلاوه آنها جبرهای خوشه ای هندسی از نوع متناهی را با عمل تحول به درخت های دوری متناظر کردند که در حقیقت این تناظر دقیقا رده بندی کارتان کلینگ است. در این پایان نامه ابتدا رده بندی کارتان و کلینگ و جبرهای خوشه ای را مطالعه کرده و سپس قضیه فومین زلوینسکی که جبرهای خوشه ای از نوع متناهی را بیان می کند مورد بررسی قرار می دهیم.

چکیده فرض کنید pg ایدآل توریک از گراف ساده و غیر جهت دارg باشد. در این پایان نامه ویژگی اشتراکی کامل pg را از دو روش الگوریتمی و ترکیبیاتی مطالعه می کنیم. اگر g گرافی همبند و pg اشتراکی کامل باشد آن گاه زیرگراف های القایی r و c از g وجود دارند که مجموعه رأس های گراف g اجتماعی از مجموعه ی رأس های r و c است که r گراف حلقوی دوبخشی و c یکی از گراف های، تهی، دور اولیه فرد یا شامل دو دور اولیه فرد همبند است. در آخر اگر r ?-همبند و c همبند باشد خانواده ای از گراف هایی که ایدآل توریک آن ها اشتراکی کامل است را بدست می آوریم.

گرادیه ای از l1 خط عمومی l1 .......l1 را در صفحه تصویری در نظر بگیرید. به مجموعه ای از نقاط که توسط همه اشتراک های دو به دو از این خطوط ایجاد می شود، ساختار ستاره ای گفته می شود و آن را با نمایش می دهیم. در این پایان نامه برای هر عدد صحیح نا منفی مانند d ، بعد خانواده ای از خم های درجه ی d که شامل یک ساختار ستاره ای هستند، محاسبه می شود.

مفهوم مقسوم علیه های آزاد توسط سایتو در سال ???? معرفی شده است که اهمیت بسزائی در نظریه تکینگی دارند. نسخه جبری این تعریف توسط آرون سیمیس در سال ???? ارائه شده است. چندجمله ای $ f$ از حلقه چندجمله ای $ r$ را مقسوم علیه آزاد گوئیم اگر ایده ال ژاکوپی $ f$ ایده ال تام از هم بعد ? باشد. در این پایان نامه ابتدا نسخه جبری تعریف سایتو را به همراه نتایج بدست آمده به صورت کامل مطالعه می کنیم، مفهوم مقسوم علیه آزاد کزول و از نوع خطی را بیان می کنیم و درآخر مثال هایی از مقسوم علیه های آزاد همگن تحویل ناپذیر در صفحه تصویری $ mathbb{p}_k^2$ را می آوریم.