فرض کنید یک گراف ساده با مجموعه رئوس مجموعه یالهای باشد. همسایگی باز رأس عبارت است از و همسایگی بسته آن برابر است با . فرض کنید یک تابع حقیقی مقدار بر باشد. در این صورت را وزن تابع می نامند. تابع را یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار در نامند هرگاه به ازای هر ، ( ). مینیمم وزن در میان تمام توابع احاطه گر (تام) علامت دار را عدد احاطه ای (تام) علامت دار نامیده و با ( ) نشان می دهند. تابع احاطه گر (تام) علامت دار در گراف را یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار کلی نامند هرگاه یک تابع احاطه گر (تام) علامت دار در باشد. فرض کنید یک عدد صحیح باشد. تابع را یک تابع احاطه گر علامت دار در نامند هرگاه به ازای هر ، . مینیمم وزن در میان تمام توابع احاطه گر علامت دار را عدد احاطه ای علامت دار آن نامیده و با نشان می دهند. خانواده از توابع احاطه گر علامت دار در را یک خانواده احاطه گر علامت دار نامند هرگاه به ازای هر ، . بیشترین تعداد اعضای یک خانواده احاطه گر علامت دار در را عدد دماتیک علامت دار آن می نامند. در این رساله، مفهوم توابع احاطه گر تام علامت دار کلی را معرفی نموده و کرانهایی را برای عدد احاطه ای تام علامت دار کلی به دست می آوریم و درختها را بر اساس تفاضل عدد احاطه ای تام علامت دار کلی و عدد احاطه ای تام علامت دار دسته بندی می کنیم. همچنین عدد احاطه ای علامت دار و عدد دماتیک علامت دار و عدد دماتیک تام علامت دار در گرافهای جهت دار را معرفی نموده و کرانهایی را برای این پارامترها بر حسب پارامترهایی مانند درجه ورودی و درجه خروجی رئوس، مرتبه، اندازه و دیگر پارامترهای یک گراف به دست می آوریم.