یکی از اساسی ترین سوالات در رابطه با خم های بیضوی، چگونگی ساختار گروهی آن روی میدان ‎$q$‎ است. بنا به قضیه مردل-ویل ‎، گروه نقاط یک خم بیضوی روی یک میدان اعداد‎ ‎ ، متناهی-مولد‎ ‎ است. میزور،‎ ‎$15$‎ گروه متناهی ارائه کرد و نشان داد بازای هر خم بیضوی دلخواه روی ‎$q$‎، زیر گروه تاب‎ فقط با یکی از این ‎$15$‎ حالت یکریخت است. در حالی که محاسبه زیر گروه تاب هر خم بیضوی کار چندان دشواری نیست، به دست آوردن مولدهای مستقل قسمت آزاد‎ آن که تعداد آن ها رتبه ‎ نامیده می شود بسیار چالش برانگیز است. به طور کلی هیچ راه حل کلی که بتوان رتبه همه خم ها را به کمک آن محاسبه کرد وجود ندارد. باور کلی بر این است: بازای هر عدد طبیعی ‎$m$‎، می توان یک خم بیضوی پیدا کرد که رتبه آن برابر ‎$m$‎ باشد. متاسفانه دلایل کافی برای اثبات این حدس وجود ندارد‎. ‎ این رساله شامل چهار فصل می باشد. فصل اول را به مفاهیم و مقدمات اولیه از خم های بیضوی اختصاص داده ایم. ‎‎ ‎‏در فصل دوم خانواده ای از خم های بیضوی برآمده از چهارضلعی های براگما گوپتا را ساخته و به بررسی چگونگی افزایش رتبه این خم ها پرداخته ایم. ‎یک‎‎ چهارضلعی براگما گوپتا ‎‎ یک چهار ضلعی محاطی می باشد که همه ضلع ها، قطرها و مساحتش مقادیری صحیح می باشند. در این فصل ما مفهوم براگما را که توسط ساستری ‎‎‎ با استفاده از خم های بیضوی معرفی شده است توصیف می کنیم. از چهار ضلعی براگما گوپتا استفاده می کرده و خانواده ای نامتناهی از خم های بیضوی با گروه تاب ‎‎ $mathbb z/2mathbb z imes mathbb z/2mathbb ‎z$‎‎ می سازیم به طوری که دارای رتبه های بالای حداقل 4و5و6 باشد. سپس با تخصیص سازی مثال هایی از این خم های بیضوی با رتبه 9 را مثال می زنیم.‎در فصل سوم به روش حل معادلات دیوفانتی ‎‎‎$ ‎ ‎x_1^‎i‎+x_2^i+x_3^i+x_4^i=2y_1^i+2y_2^i ‎ $‎‎‎ ‎‏برای وقتی که ‎$ ‎i=3,6‎ $‎می پردازیم. در این فصل با استفاده از نظریه خم های بیضوی روشی برای حل این دسته از معادلات دیوفانتی ارائه می دهیم.‎ در فصل چهارم ابتدا رابطه‎ میان چهارضلعی های محاطی و خم بیضوی را بیان می کنیم و در ادامه، سپس به بررسی خواص جبری خم بیضوی تولید شده به این چهارضلعی ها می پردازیم و در نهایت دو حالت خاص از این خم ها یعنی خم های عدد همنهشت و خم های بیضوی با گروه تاب ‎$ z/2z $‎ را در نظرگرفته و نتایحی را درمورد آنها بیان می کنیم.