بررسی وجود و چندگانگی جوابهای معادلات دیفرانسیل به ویژه با شرایط مرزی اغلب بسی دشوار بوده و همراه با گام های ملالت آور می باشد بطوریکه همواره نیاز به پیش شرط هایی می باشد که معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی مورد نظر باید داشته باشد. بنابراین اثبات آنالیزی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی اغلب غیر ممکن می باشد. روشهای تقریبی- تحلیلی یا روشهای عددی صرفاً برای بدست آوردن جواب موجود مورد نظر بصورت تقریبی مورد استفاده قرار می گیرند و قادر به پیش بینی جوابهای چندگانه مسائل مقدار مرزی غیر خطی نمی باشند. بر این اساس ایدهء استفاده از روشهای عددی برای بررسی وجود و چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی در این رساله مطرح شده است. در این رساله ما روش آنالیز هموتوپی پیشگو (pham) را معرفی کرده ایم که بر اساس آن می توان پی به چندگانگی جوابهای مسائل مقدار مرزی غیر خطی از نوع معادلات دیفرانسیل معمولی برد. پایه اصلی این روش، روش آنالیز هموتوپی می باشد که در دهه اخیر برای بدست آوردن جواب تقریبی – تحلیلی به صورت سری برای معادلات دیفرانسیل مطرح شده است. در این روش با استفاده از پارامتری می توان همگرایی سری جواب را کنترل و سرعت بخشید، علاوه بر این می توان برای مسائلی که شامل قسمتهای غیر خطی قوی دارند بکار برد و جوابهای تقریبی مناسبی با دقت بالا بدست آورد. روش آنالیز هموتوپی پیشگو را می توان به آسانی روی معادلات دیفرانسیل معمولی غیر خطی با شرایط مرزی به کار برد. این روش علاوه بر پیش بینی چندگانگی مسائل مقدار مرزی قادر به محاسبه همزمان تقریبی- تحلیلی آنها نیز می باشد. بر این اساس برای استفاده های کاربردی در علوم و مهندسی این روش این امکان را می دهد که جوابهای ناشناخته ای از معادلات بدست آید که اساساً مورد علاقه می باشند. با توجه به وجود نرم افزار های قوی سیمبلیک امروزه، این روش ما را متقاعد می سازد که آن را روی معادلات غیر خطی بکار ببریم و مهمّتر اینکه خود را از گام های ملالت آور وجود و بررسی جواب مبرّا سازیم. در روش آنالیز هموتوپی پیشگو دو پارامتر وجود دارد که نقش مهمّی در بررسی چندگانگی جوابها دارد، یکی از آنها پارامتر کنترل کننده همگرایی و دیگری پارامتر تجویز شده به مسئله می باشد. این روش مزیّت دیگری نیز دارد که تنها با یک حدس آغازی و یک عملگر خطی و یک تابع کمکی همه شاخه های جوابهای مساله را بدست می دهد. ساختار این رساله به شرح زیر است. در فصل اول به بیان مقدمه ای بر روش آنالیز هموتوپی می پردازیم زیرا روشی که ارائه خواهد شده بر اساس این روش است. این فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [1] s. abbasbandy, m. pakdemirli, e. shivanian, optimum path of a flying object with exponentially decaying density medium, z. naturforsch. 2009; 64a: 431 – 438. [2] s. abbasbandy, e. shivanian, solution of singular linear vibrational bvps by the homotopy analysis method, journal of numerical mathematics and stochastics, 20009; 1 (1): 77-84. [3] s. abbasbandy, e. shivanian, a new analytical technique to solve fredholm’s integral equations, numer algor 2011; 56: 27–43. [4] h. vosughi, e. shivanian, s. abbasbandy, a new analytical technique to solve volterra’s integral equations, mathematical methods in the applied sciences, 2011; 10(34): 1243-1253. [5] s. abbasbandy, e. shivanian, series solution of the system of integro-differential equations, z. naturforsch, 2009; 64a: 811 – 818. در فصل دوم به معرفی روش و سپس بصورت کامل به آنالیز ریاضی آن پرداخته می شود و در فصل سوم چندین مدل کاربردی که اعتبار روش را تائید می کند، بررسی می شود. این دو فصل بر اساس مقالات زیر می باشد. [6] s. abbasbandy, e. magyari, e. shivanian, the homotopy analysis method for multiple solutions of nonlinear boundary value problems, commun nonlinear sci numer simulat 2009;14: 3530–3536. [7] s. abbasbandy, e. shivanian, prediction of multiplicity of solutions of nonlinear boundary value problems: novel application of homotopy analysis method, commun nonlinear sci numer simulat 2010; 15: 3830–3846. [8] s. abbasbandy, e. shivanian, exact analytical solution of a nonlinear equation arising in heat transfer, physics letters a, 2010; 374: 567–574. [9] s. abbasbandy, e. shivanian, k. vajravelu, mathematical properties of h-curve in the frame work of the homotopy analysis method commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 4268–4275. [10] s. abbasbandy, e. shivanian, predictor homotopy analysis method and its application to some nonlinear problems, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2456–2468. در فصل چهارم به مسائل مقدار مرزی غیر خطی که دارای شرط مرزی در بی نهایت می باشند، بصورت مختصر پرداخته می شود و روشی مبتنی بر شبه طیفی – هم محلی برای یک مساله مقدار مرزی غیر خطی ناشی از جریان تبادل حرارت مخلوط در ماده متخلخل که دارای شرایط مرزی در بی نهایت می باشد بکار گرفته می شود و جوابهای دوگانه آن بدست می آید که بر اساس مقاله زیر است. [11] s. abbasbandy, e. shivanian, multiple solutions of mixed convection in a porous medium on semi-infinite interval using pseudo-spectral collocation method, commun nonlinear sci numer simulat 2011; 16: 2745–2752.

دو روش جدید و موثر را برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزیی بیضوی (epde) ‎ با رفتار نوسانی و غیرنوسانی بر اساس روش هم محلی موجک های هار و لژاندر ارائه می کنیم. این روش ها در دو مرحله مطرح می شوند؛ در مرحله ی اول، موجک های هار را به کار می بریم و در مرحله ی دوم، به منظور بدست آوردن دقت بالاتر، موجک های لژاندر را جایگزین موجک های هار می کنیم‎.‎سپس یک آنالیز مقایسه ای از عملکرد روش هم محلی موجک های هار و روش هم محلی موجک های لژاندر را انجام می دهیم. علاوه بر این، عملکرد روش هم محلی موجک های لژاندر را با روش هم محلی اسپلاین درجه دو، روش بدون شبکه و روش سینک-گالرکین مقایسه می کنیم‎.‎ این آنالیز نشان می دهد که موجک لژاندر، دقت بالاتری دارد که در قالب آنالیز چندگانه تابع است. سرانجام از نتایج حاصل از مثال های عددی بر روی این روش ها، مشاهده می نماییم که روش بر اساس موجک های لژاندر برای انواع مشکلات پایه ای، دقت بهتری دارند‎.‎

معادلات دیفرانسیل کسری را می توان بوسیله انواع متنوعی از روشها حل کرد.روش مشخصه تفاضل متناهی هم یکی از این روشها می باشد،این روش جدید که از ترکیب روش مشخصه و روش تفاضلات متناهی کسری برای حل معادله انتشار گرمای دوطرفه در فضای دوبعدی است. این روش جدید از توسعه روش مشخصه تفاضل متناهی کسری پدید آمده است، این روش در حل معادلات دیفرانسیل جزئی کسری نتایج بهتری را می دهد. بررسی پایداری، همگرایی در نرم بینهایت و محاسبات عددی نشان می دهد که این روش بدون قید وشرط پایدار است و این یعنی برتری این روش به روشهای شناخته شده ی دیگر،که با چند مثال عددی بررسی می شود.مثال هایی با روشهای ضمنی و صریح حل،و باروش مشخصه تفاضل متناهی مقایسه می شوند.

در این پایان نامه ‏ابتدا از روش گالرکین و روش های متداول معادلات انتگرالی برای حل معادلات انتگرال-دیفرانسیل استفاده نموده و سپس برای حل دستگاه های حاصل‏، از روشهای تکراری جارات استفاده میکنیم.‎ ‎‏تاکید ما در اینجا بر ‏روی روشهای جارات مرتبه چهارم می باشد‏، گرچه الگوریتم ارائه شده برای روش های با مرتبه ی بالاتر نیز موثر می باشد.

در این کار ما یک روش محاسباتی جدید و موثر بر پایه استفاده از موجک هار برای حل معادلات پواسون و دوهمساز ارائه کرده ایم.در ابتدا ما ضرایب طیفی در مقادیر متغیر گره بدست می آوریم و سپس با استفاده از حاصلضربهای کرونکر,تقریب هایی برای مشتقات مرتبه بالاتر در شبکه ضرب تانسوری از بلوک های عمودی و افقی بدست می اوریم در نهایت سیستم بدست آمده از معادلات جبری را حل می کنیم.نمایش ساده موجک هار باعث می شود محاسبات ساده تر و سریعتر انجام شود.

یک معادله کسری، یعنی معادله‏ ای که مشتق آن به جای مرتبه صحیح از مرتبه کسری باشد. برای حل معادلات دیفرانسیل کسری روش های زیادی ارائه شده است. در این پایان نامه، ما به طور صریح یک فرمول جدید مشتقات چند جمله های چپیشف انتقال یافته از هر درجه بیان و ثابت می کنیم. ما همچنین یک تکنیک حل مستقیم برای حل معادلات دیفرانسیل کسری چند گانه خطی با ضرایب ثابت ارائه می کنیم.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی از نوع هذلولوی? ، انواع زیادی از پدیده های فیزیکی را با استفاده از رفتار موج توصیف می کنند. به لحاظ آن که نمی توان جواب دقیق اینگونه معادلات را بدست آورد، تلاش می کنیم تا تقریب جواب مسائل انتشار موج را با کمک روش های عددی بیابیم. در این پایان نامه، به روش های عددی با درجه دقت بالا، برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی هذلولوی در چارچوب روش خطوط? ، می پردازیم. براساس روش خطوط، با استفاده از روش های نیمه گسسته سازی، معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی هذلولوی به معادلات دیفرانسیل معمولی? تبدیل، سپس جواب آن ها با استفاده از روش های حافظ پایداری قوی با درجه دقت بالا، با انتگرال گیری نسبت به مکان و زمان، هم برای دستگاه های خطی و هم غیر خطی، محاسبه می کنیم.گروهی از روش های رانگه کوتا براساس روش های حافظ پایداری قوی بهینه به این منظور توسعه می یابند.روش نیمه گسسته سازی انتشار موج با درجه دقت بالا، در یک یا دو بعد، با استفاده از روش ریمان انتشار موج? و نوسازی غیر نوسانی وزن دار?، به عنوان روش های نیمه گسسته سازی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی هذلولوی، مطرح و توضیح داده می شوند.

ز انجایی که برای حل معادلات انتگرال منفرد (sies) که مبنای آنها مسائل تماس -شکست در مکانیک جامدات است روشهای عددی وجود دارد این روشها مبنای بسیاری از تحقیقات بوده است (که شامل روشهای هسته ی باز تولیدی می باشد .)