در این رساله به بررسی ویژگی واکر بودن روی فضاهای متقارن گسترش یافته سره 4 بعدی می پردازیم. بر اساس رده بندی که قبلا برای این فضاها ارائه شده همه متریک های متقارن گسترش یافته چهار بعدی سره در چهار کلاس ‎$a$‎، ‎$b$‎، ‎$c$‎ و ‎$d$‎ قرار می گیرد. به جز کلاس ‎$c$‎ که لورنتسی است در بقیه کلاسها متریک دارای علامت ‎$(4,0)$‎، ‎$(2,2)$‎ یا ‎$(0,4)$‎ است. نتیجه های به دست آمده از مطالعه ساختارهای واکر در این رساله نشان می دهد که همه متریک های متقارن گسترش یافته از نوع ‎$a$‎ با علامت خنثی، نوع ‎$b$‎ یا نوع ‎$d$‎ دارای دو توزیع تبهگون مکمل کاملا پوچ هستند. همچنین نوع ‎$c$‎ از این متریکها دارای یک توزیع تبهگون بخشی پوچ از نوع ‎$(1,2)$‎ است. بنابراین بجر حالت ریمانی نوع ‎$a$‎ که آشکارا واکر نیست، ‎همه متریک های شبه ریمانی متقارن گسترش یافته سره واکر هستند‎.}‎ همچنین به مطالعه ویژگی خود دوگانی‎ و پاد خود دوگانی‎ روی متریک های نوع ‎$a$‎، ‎$b$‎ و ‎$d$‎ پرداخته و ثابت می کنیم که همه خمینه های ناتخت همدیس متقارن گسترش یافته سره ‎(پاد)‎ خود دوگان، لزوما از نوع ‎$b$‎ هستند‎. مشابه آنچه برای فضاهای متقارن گسترش یافته انجام شد مطالعه هایی نیز روی فضاهای همگن ناکاهشی 4 بعدی انجام شده و نتایج ارائه می شود.

درمیان متریک های شبه ریمانی دسته خاصی ازاین متریکها که به متریکهای واکر معروفند، ازاهمیت ویژه ایی برخورداربوده وبسیاری ازتفاوتهای هندسه های ریمانی وشبه ریمانی دربین این گونه متریکها مشهوداست.سوال طبیعی که اینجاممکن است پیش بیایداین است که آیا یک متریک شبه ریمانی والکراست یاخیر. لذا بررسی متریکهای والکر روی فضاهای همگن از لحظه پیدایش به بعد همیشه یک مساله قابل توجه بوده است. سئوال اصلی این تحقیق بعد از بررسی برخی از فضاهای همگن وخاصیت والکربودن دربین آنها می باشد. ساختارهای واکر را بر روی فضاهای همگن همدیس تخت مشخص می کنیم.