نشان می دهیم که در رسته ی فضاهای توپولوژی کاملاً مرتب، شبه f – فضاها و تقریباً p – فضاها یکسانند. در فضاهای توپولوژی کاملاً مرتب، p+ - نقطه ها، p- - نقطه وار و به طور طبیعی p+ - فضاها و p- - فضاها را تعریف می کنیم و مثالی از یک p+ - فضای بدون p- - نقطه می-آوریم که همچنین مثالی از یک تقریباً p – فضا بدون p – نقطه است. یک فضای کاملاً مرتب دارای درجه ی سختی شمارش پذیر است اگر و تنها اگر یک فضای دنباله ای باشد. نشان می دهیم که یک فضای کاملاً مرتب، فضای دنباله ای است اگر و تنها اگر هر تقریباً p – نقطه اش، یک نقطه ی تنها باشد. شرایط معادل با همبندی دنباله ای یک فضای کاملاً مرتب را به دست می آوریم و نتیجه می گیریم که هر گاه برای هر n ، فضای کاملاً مرتب xn دارای نقاط آغازین و پایانی باشد، حاصل ضرب الفبایی یک فضای دنباله ای (همبند دنباله ای) است اگر و تنها اگر برای هر n ، xn یک فضای دنباله ای (همبند دنباله ای) باشد. (xn ها هیچ یک شامل تقریباً p – نقطه ای نباشد). حاصل ضرب الفبایی که در آن مجموعه ی اردینالهای شمارش پذیر است، نیز مورد بررسی قرار می گیرد و نشان می دهیم که یک تقریباً p – فضاست. همچنین نشان می دهیم که هر گاه برای هر ، فضای کاملاً مرتب شامل نقاط آغازین و پایانی نباشد، حاصل ضرب الفبایی یک p- فضاست که شامل نقاط تنها نمی باشد.

تابع از فضای توپولوژی به را -باز می نامیم، هرگاه برای هر همسایگی متمم صفرمجموعه ای برای یک صفرمجموعه ی در ، تصویر یک همسایگی برای در باشد. می گوییم ویژگی -تفکیک پذیری دارد، هرگاه برای دو متمم صفرمجموعه ی و و صفرمجموعه ی در که ، یک صفرمجموعه ی در وجود داشته باشد که . یک تابع پوشا، -باز است، هرگاه متمم صفرمجموعه ها را به متمم صفرمجموعه ها تصویر کند و دارای ویژگی -تفکیک پذیری باشد. در این پایان نامه، توابع -باز و دیگر توابعی را که متمم صفرمجموعه ها را به متمم صفرمجموعه ها تصویر می کنند، بررسی می کنیم. نشان می دهیم که اگر یک تابع پیوسته و -باز باشد، آن گاه تعمیم استون-چک آن باز است. از این موضوع برای نشان دادن بعضی از ویژگی های مربوط به -فضاها که تحت توابع پیوسته و -باز حفظ می شوند، استفاده می شود.

گیریم( c(x حلقه ای از توابع پیوسته با مقادیر حقیقی بر فضایt_1 و کاملا مرتب x باشد. همچنین فرض کنیم( c_k (x اید آلی از توابع با تکیه گاه فشرده باشد. ناب بودن به عنوان ( c_k (x زیر فضایی ازx_l که مجموعه ای از نقاط x با همسایگی های فشرده است را شناسایی و بررسی می کند .اثبات می کنیم که(c_k (x ناب است اگر و فقط اگرx_l=?suppf (f عضو (c_k (x . اگر( c_k (xو( c_k (y ایده ال-های ناب باشند،(c_k (x) وc_k)(y) یکریخت اند اگر و فقط اگر x_l وy_l همسان ریخت باشند. ثابت می کنیم که( c_k (x کامل است وx_l ناهمبند پایه ای است اگر و فقط اگر برای هر f در c_k (x)ایده ال( f) یک c(x) مدول تصویری(پروژکتیو) باشد و در انتها ثابت می کنیم که اگر( c_k (x) کامل باشد، آن گاه x_l فضایf ? است اگر و فقط اگر هر اید ه ال اصلی از( c_k (xکامل باشد. بنابراین x_l فضایf ? است اگر و تنها اگرهر ایده ال اصلی از( c_k (x یک( c(x مدول تخت است.

یک همسایگی معین در فضای x، خانواده­ی ? متشکل از همه­ ی زیرمجموعه ­های باز x است که برای هر x متعلق به x داشته باشیم x متعلق به یکی از اعضای ?. زیر مجموعه ی y از x را یک کرنل ? می نامیم، هرگاه اجتماع اعضای ? برای اعضای y برابر x شود. برای هر کلاس ( یا ویژگی) p، یک کلاس دوگان pd تعریف می کنیم که شامل همه ی فضاهای x است که برای هر همسایگی معین ? در x ، زیر فضای y از x موجود باشد که y متعلق به p و ? برای اعضای y برابر x شود . pd را دوگان p می نامیم. بنابراین یک فضای x یک دوگان گسسته است، هرگاه هر همسایگی معین در x دارای یک کرنل گسسته باشد و d-ضاست، هرگاه دارای یک کرنل بسته و گسسته باشد. با توجه به آن که فضای توپولوژی x یک p- فضاست، هرگاه هر ایدآل در (c(x یک z- ایدآل باشد و فضای توپولوژی لیندلوف است، هرگاه هر پوشش باز دارای یک زیر پوشش شمارا باشد، در این پایان نامه، نشان می دهیم هر فضای زیرپارافشرده­ ی پراکنده و هر تصویر پیوسته­ ی یک p- فضای لیندلوف یک d- فضاست. همچنین هر فضای نودک یک d-فضاست و هر go- فضا یک فضای دوگان گسسته است

در این پایان نامه ، ما توصیف جدیدی از ایدال های ماکسیمال اساسی (آزاد) حلقه( c(x ارایه می کنیم. سپس در فضاهای توپولوژی که( c_f (x و( c_k (x معادل هستند، اشتراک همه ایدال های ماکسیمال اساسی (آزاد) را شناسایی میکنیم. در آخر وضعیت مشابه را در هر حلقه ی نیمه اول جابجایی دلخواه را بررسی می کنیم.