در این پایان نامه به بررسی مساله نقطه ثابت برای نگاشت هایf-انقباض ضعیف وf-انبساط قوی می پردازیم ونتایج نقطه ثابت را برای حل معادلات انتگرالی فردهلم بکار می گیریم.در نهایت مساله نقطه ثابت را برای گروه دیگری از نگاشت ها به نام نگاشت های غیر انبساطی مورد بررسی قرار می دهیم.

bi2se3 با سه بلوک پنج¬تایی کوچک¬ترین ساختاری است که دارای دو شکاف واندروالس بوده و می¬تواند به¬عنوان ساختار مدل برای شناخت جایگاه¬های فعال ساختار bi2se3 مورد استفاده قرار گیرد. موقعیت¬های ممکن برای جای-گیری اتم ناخالصی در دو شکاف واندروالس شامل 10 موقعیت مختلف است. پس از شناسایی جایگاه¬های فعال در ساختار تشکیل شده از سه بلوک پنج¬تایی، این جایگاه¬ها در ساختار تشکیل شده از شش بلوک پنج¬تایی مورد استفاده قرار گرفت. چون¬که ساختار اخیر خاصیت عایق توپولوژیکی نشان می¬دهد. از بین موقعیت¬های بهینه¬ی شکاف اول و دوم، موقعیت واقع در شکاف اول از پایداری بیشتری برخوردار بوده که بر همین اساس تنها این موقعیت برای جای-گیری دو اتم pt و ag در توده¬ی شش بلوک پنج¬تایی مورد بررسی قرار گرفت. حضور اتم ptو ag در شکاف واندروالس موجب افزایش طول شبکه¬ی واحد (c) و بسط همه¬ی شکاف¬ها می¬شود به¬گونه¬ای که شکاف دارای این اتم¬ها، نسبت به سایر شکاف¬ها به میزان بیشتری بسط یافته است. محاسبه¬ی ساختار الکترونی و چگالی حالت برای موقعیت¬های جذبی پایدار (شکاف اول) توده¬ی شش بلوک پنج¬تایی نشان می¬دهد که حضور این دو اتم (pt و ag) در شکاف واندروالس سبب ایجاد حالت الکترونی در سطح فرمی و فلزی شدن توده¬ی عایق bi2se3 شده است. مشاهده¬ی مخروط دیراک و حالت¬های سطحی در این سامانه¬ها به ضخامت این فیلم¬ها وابسته است. با افزایش ضخامت، میزان شکاف نواری کاهش یافته تا این که مقدار این شکاف نواری برای ترکیب bi2se3 در فیلمی به ضخامت شش بلوک پنج¬تایی به صفر رسیده و مخروط دیراک مشاهده می-شود. جای¬گیری اتم pt در سطح شش بلوک پنج¬تایی باعث حفظ نقطه¬ی دیراک می¬شود در حالی¬که حضور اتم ag در سطح شش بلوک پنج¬تایی سبب باز شدن شکاف نواری در نقطه¬ی دیراک می¬شود. هم¬چنین حضور هر دو اتم در ساختارهای یاد شده منجر به ظهور حالت¬های گاز الکترونی دوبعدی یعنی نوارهای سهموی با شکافتگی راشبا و نوارهای m شکل در ساختار نواری می¬شود.