گیریم میدان اعداد مختلط ساختنی (توسط پرگار و خطکش نامدرج) و حلقه اعداد صحیح جبری (مختلط) باشد. در این پایان نامه، تعریف پذیری در که توسط ویدلا (videla) در سال 1999 در proc. of ams به چاپ رسید مورد توصیف قرار می گیرد. انگیزه قضیه ویدلا ناشی از قضیه تارسکی (tarski) مبنی بر تصمیم پذیری (r, +, 0)، مثلا به دلیل تمامیت نظریه میدانهای بسته حقیقی، قضیه جولیا رابینسون (j. robinson) مبنی بر تصمیم ناپذیری (r, +, 0, q)، به دلیل تعریف پذیری حلقه تصمیم ناپذیر اعداد صحیح در میدان گویا که با ابزارهایی از نظریه اعداد حاصل شد، و نیز سئوال تارسکی در مورد تصمیم پذیر بودن یا نبودن (r, +, 0, nr) می باشد. در جهت اخیر از قضیه ویدلا معلوم می شود اگر z در zn تعریف پذیر باشد، آنگاه ( , +, 0) تصمیم ناپذیر خواهد بود. اثبات ویدلا بر نتایج روملی (rumely) در باب میدانهای سراسری و برخی تعمیم های اندک اما مهم آنها و نیز قضیه نرم موضعی - سراسری هاسه (hasse)، برای توسیعهای دوری، و قضیه تقابل آرتین (artin)، متکی می باشد.

در دهه 1960 shepherdson, مدلی نااستاندارد و بازگشتی برای زیر نظریه ای از حساب پئانوکه استقراء را به فرمولهای باز محدود می کند ارائه نمود. مدل و غیر نرمال و فاقد عناصر اول نااستاندارد بود. همچنین در آن گویا و معادله فرما برای هر n?3 جواب غیر بدیهی دارد. در اوایل دهه 1980،wilkie و vanden dries با معرفی ساختارهای و w نشان دادند که هر -z حلقه می تواند در یک مدل استقراء باز نشانیده شود. در اواخر این دهه marker و macintyre با استفاده از ساختارهای فوق مدلهایی برای استقراء باز ساختند که در آنها عناصر اول نااستاندارد ویژگیهای غیر معمولی را به نمایش می گذاشتند. هیچ یک از مدلهای آنها بازگشتی نبوده و این سوال مطرح شد که آیا مدلی بازگشتی و نرمال یا با عناصر اول نااستاندارد برای iop موجود است . در سال 1996، berarducci و otero در مقاله خود در jsl برای دو سوال فوق یک جواب مثبت همزمان ارائه نمودند. در این پایان نامه مدل b - o مورد توصیف قرار می گیرد.

حساب هتینگ ha صورت شهودگرایانه حساب پئانو pa است که با حذف اصل طرد شق ثالث pem از آن حاصل می شود. در این پایان نامه توصیفی از نتایج wehmeier درباره ارضاء (زیرنظریه های) pa در جهانهای مدلهای کریپکی ha آورده می شود. برای مثال، هر قضیه ii2 از pa (که در ha نیز برهان پذیر خواهد بود) در هر مدل کریپکی ha موضعا صادق است . به علاوه، مدلهای کریپکی توسیع انتهایی برای ha قالب - 1 گردایه را نیز (که در ha برهان پذیر است) موضعا ارضا می نماید. نشان داده می شود که ha قالبهای pem و lnp محدود شده به فرمولهای را ثابت می نماید. نسبت به کلاس مدلهای کریپکی -pa نرمال، ha نظریه ای کامل اما غیر درست است . با استفاده از روش هرس ، موضعا پئانو بودن مدلهای کریپکی از عمق متناهی و یا روی قاب w یا یکی از انواع ترتیبی خاص دیگر ثابت می شود. اصل مارکوف به صورت مختصر مطرح و هم ارزهایی برای آن در مدلهای کریپکی خطی آورده می شود. نشان داده می شود که جهانهای غیر پئانو در مدلهای کریپکی ha (در صورت وجود) به این زعم زائد هستند که با حذف (تعدادی متناهی و در صورت به طور وارون خوش بنیاد بودن قاب همه) آنها، نظریه (شهودگرایانه) مدل تغییر نمی یابد.

هر زیر حلقه گسسته یک میدان مرتب که هر عضو میدان را با خطای کمتر از واحد (به طور معادل با خطای متناهی) تقریب می زند یک جزء صحیح آن میدان نامیده می شود. جزء صحیحهای میدانهای بسته حقیقی بنا به قضیه شفردسون دقیقا مدلهای زیر نظریه ای از حساب پئانو می باشند که استقراء را به فرمولهای خالی از سور محدود می نماید. مدل استاندارد حساب (حلقه اعداد صحیح) یک (و تنها) حزء صحیح هر مدل ارشمیدسی نظریه کامل میدانهای بسته حقیقی (هر میدان بسته حقیق مشمول r) می باشد. در مدلهای ناارشمیدس (اما بنا به قضیه تارسکی لزوما هم ارز مقدماتی با r) برای این نظریه، وجود جزء صحیح و در نتیجه مدل استقرار باز توسط mourgues-ressayre در مقاله مشترک آنها در سال 1993 ثابت شد. در همین سال boughattas در مقاله خود در jsl میدانهای مرتب -p بسته حقیقی، برای ح دلخواه، ساخت که فاقد جزء صحیح هستند. به علاوه او نشان داد که هر میدان مرتب دارای فراتوانی شامل سگ جزء صحیح و در نتیجه مدل استقرار باز است . در این پایان نامه توصیفی از نتایج مذکور ارائه می گردد.

زیر نظریه استقراء باز oi از حساب پئانو در زبان مرتبه اول حلقه های یکدار مرتب ، از افزودن اصل موضوعی استقراء روی فرمولهای خالی از سور به مجموعه اصول حلقه های جابجایی یکدار گسسته مرتب حاصل می شود. نظریه استقراء باز نرمال noi، گسترش oi توسط قالب اصل موضوعی بیان کننده به طور صحیح بسته بودن حلقه در میدان کسرهای خود می باشد. در سال 1991، بوگاتا در مقاله خود در j.s.l متناهیا اصل ناپذیری oi را ثابت کرد. همچنین در سال 1996، او در مقاله خود در j.l.m.s متناهیا اصل ناپذیری noi را ثابت نمود. در این پایان نامه ضمن توصیف برهانهای مذکور، نشان می دهیم که روش براردوچی-اترو مطرح شده در مقاله مشترک سال 1996 آنها در j.s.l برای ساختن مدلهای noi، منجر به اثباتی ساده تر از قضیه دوم بوگاتا می گردد.

در این پایان نامه که مطالب آن با استفاده از دو مرجع اصلی ‏‎[6]‎‏ و ‏‎[7]‎‏ توصیف شده است، خاصیت حذف سور را برای میدان نمایی حقیقی با توابع تحلیلی تحدید یافته ‏‎(r )‎‏ در زبان بسط یافته توسط ‏‎log‎‏ ثابت کرده و از آن، ت - کمینه بودن ‏‎(r )‎‏ را نتیجه می گیریم. سپس مدلی نااستاندارد برای ‏‎th(r )‎‏ ارائه می دهیم و با استفاده از خواص این مدل، به سوالی از هاردی پاسخ می دهیم؛ مبنی بر این که وارون ترکیبی تابع ‏‎(log x) (log log x)‎‏ به هیچ ترکیبی از توابع نیمه جبری ‏‎log‎‏ و ‏‎exp‎‏ مجانب نیست. سرانجام ثابت می کنیم که بسیاری ازتوابع معروف، مثل تابع گاما، ‏‎ dt‎‏ و .... در ‏‎r ‎‏ تعریف پذیر نیستند و با روشی متفاوت همین حکم را در مورد تابع زتای ریمن تحدید به ‏‎(1,+ )‎‏ ثابت می کنیم.

در این پایان نامه به توصیف نتایج ‏‎tanaka-yamazaki‎‏ که در سال 2000 میلادی در ‏‎j.symbolic logic‎‏ به چاپ رسیده است می پردازیم که در آن مطالعه ریاضیات وارونه وجود (و یکتایی) اندازه هار برای گروههای فشرده جدایی پذیر (دارای مدول پیوستگی یکنواخت برای دو عمل) پرداخته می شود. نشان داده می شود که وجود‏‎‎‏ اندازه هار برای گروههای فشرده جدائی پذیر روی نظریه زمینه ای ‏‎rca‎‏، معادل با لم ضعیف کونیگ می باشد. اثبات مذکور از دو اثبات متباین و قدیمی تر که یکی ساختنی و دیگری نااستاندارد بوده است ریشه گرفته است. در ادامه بدون استفاده از روشهای نااستاندارد، ثابت می شود که روی ‏‎rca‎‏، این حکم که هر گروه فشرده جدایی پذیر که دو عمل آن مدول پیوستگی یکنواخت دارند دارای یک اندازه هار یکتاست، با ‏‎wwkl‎‏ معادل است. در سه فصل نخست مقدمات لازم شامل وجود و یگانگی اندازه هار در ریاضیات کلاسیک (با روشهای استاندارد و نااستاندارد) و نیز پیش نیازهای لازم از زیرنظریه های حساب مرتبه دوم شامل مطالبی از نظریه اندازه، آنالیز نااستاندارد و قضیه خود نشانندگی برای ‏‎wkl‎‏ آورده شده است.