در این پایان نامه مفهوم احاطه سازی در ابعاد نامتناهی بررسی شده و عملگرهای نگهدارنده این رابطه تعیین شده است.

دراین پایان نامه ابتدا مفهوم کرانداری در فضای توپولوژی را معرفی می کنیم. سپس با استفاده از ارتباط این مفهوم با توسیع ها، توسیع های تیخونفی را که به طور دنباله ای فشرده، لیندولف و به طور شمارا فشرده است را معرفی می کنیم. مفهوم کرانداری به طور تابعی باز از مفهوم های ارایه شده در این پایان نامه است. با استفاده از این مفهوم و یک کرانداری خاص می توان مثالی از کرانداریی که باز و بسته است ولی به طور تابعی باز نیست ارایه نمود.

در این پایان نامه به ساخت قاب ها برای فضاهای هیلبرت با بعد متناهی، به کمک روش تجزیه مقدار تکین عملگر ترکیب(پیش قابی)، می پردازیم. همچنین نشان می دهیم با استفاده از نظریه احاطه سازی در بعد متناهی می توان قاب هایی با ویژگی نرم های معین ساخت. در پایان با ارائه مفهوم جدید پتانسیل قاب، روش ساخت قاب هایی با ویژگی پتانسیل قاب معین را مشخص می سازیم.

اگر فضای متری x در فضای متری y چگال باشد، آنگاه فضای y را یک گسترش متری از x گوییم. اگر t_1 و t_2 دو گسترش متری از x باشند و نگاشتی پیوسته از t_2 به t_1 وجود داشته باشد بطوریکه روی x همانی باشد، می نویسیم t_1?t_2. اگر x یک فضای متری نافشرده باشد، آنگاه (m(x),?) مجموعه ی همه ی (کلاس های هم ارزی) گسترش های متری x را مشخص می کند، که در آن t_1 و t_2 معادلند هرگاه t_1?t_2 و t_2?t_1، یعنی اگر یک همان سانی از t_1 به t_2 وجود داشته باشد بطوریکه روی x همانی باشد. تحقیق روی مجموعه ی مرتب جزئی m(x) برای اولین بار توسط بلنوف آغاز شد. در این پایان نامه، مجموعه ی مرتب جزئی e(x) از گسترش های متری تک نقطه ای یک فضای متری فشرده ی موضعی x را مورد بررسی قرار می دهیم. این گسترش ها، گسترش هایی تک نقطه ای از x همراه با یک متر سازگار هستند. اگر x یک فضای متری جدایی پذیر باشد، آنگاه این مجموعه ی مرتب جزئی ساختاری شبیه به مجموعه ی مرتب جزئی فشرده سازی های یک فضای فشرده ی موضعی خواهد داشت. برای یک فضای تیخونف x، فرض کنید x^*= ?x-x. هم چنین فرض کنید که z(x) مجموعه ی مرتب جزئی صفرمجموعه های x را مشخص کند، که با رابطه ی شمول مرتب شده باشد. ثابت می کنیم که اگر x و y دو فضای متری جدایی پذیر فشرده ی موضعی باشند، آنگاه e(x) و e(y) بطور ترتیبی یکریخت هستند اگر و تنها اگر z(x^*) و z(y^*) بطور ترتیبی یکریخت باشند، اگر و تنها اگر x^* و y^* همان سان باشند. در این پایان نامه، تابع دوسویی حافظ ترتیب ?? e(x)?z(x^*) را ارائه می دهیم و ثابت می کنیم که گسترش تک نقطه ای y?e(x) فشرده ی موضعی است اگر و تنها اگر ?(y) در x^* هم باز و هم بسته باشد. هم چنین بعضی از نتایج را به فضاهای جدایی ناپذیر گسترش خواهیم داد.

در این پایان نامه، ویژگی جالبی از فضاهای متری به نام کشسان پذیری را بررسی خواهیم کرد. فضاهای متری کشسانی را می توان به انواع انبساطی-انقباضی، غیر انبساطی-انقباضی و انقباضی-انبساطی تقسیم بندی کرد. فضاهای کشسان انبساطی-انقباضی دارای این ویژگی هستند که هر تابع دو سویی و غیر انقباضی از این فضا به خودش، طولپایی است. فضاهای متری را که انبساطی-انقباضی نیستند، فضاهای کشسان غیر انبساطی-انقباضی می نامیم. فضاهای کشسان انقباضی-انبساطی نیز فضا ها یی هستند که هر تابع پوشا و غیر انبساطی از این فضا به خودش، طولپایی باشد. در این پایان نامه، به روی فضاهای کشسان انبساطی-انقباضی متمرکز خواهیم شد و البته فضاهای کشسان غیر انبساطی-انقباضی نیز در کنار آن پوشش داده خواهند شد؛ چرا که انگیزه ی تعریف موضوع در این پایان نامه به فضاهای انبساطی-انقباضی مربوط می شود. در پایان مباحث دیگری از جمله « خواصّ کشسان پذیری در مجموعه ها» و «فضاهای کشسان انبساطی-انقباضی موروثی» نیز بررسی خواهند شد