فصل اول را با بررسی مفاهیمی از نظریه اندازه و احتمال شروع کرده ایم و با تعریف زیر خانواده های چگال از اندازه های احتمال، قضیه ای از هالموس و ساویج (1949) آورده ایم که بیان می کند، هر خانواده تحت تسلط اندازه های احتمال، زیرخانواده های شمارش پذیر و چگال دارد. این قضیه در فصل های سوم و پنجم از اهمیت خاصی برخوردار است . در ادامه فصل، امید ریاضی شرطی را به عنوان مشتق رادن - نیکودیم تعریف ، و خواص آن را به اجمال بررسی کرده ایم. عملگر تصویر متعامد و خواص مهم آن را در فضاهای هیلبرت ، تقریبا به طور جامع، ارائه نموده ایم و بالاخره در انتهای فصل، امید ریاضی شرطی را به عنوان تنها عملگر تصویر متعامد، خود توان، مثبت و حافظ ثابت ها معرفی کرده ایم. فصل دوم را به بررسی ارتباط آماره ها و زیرسیگما هیات ها اختصاص داده ایم. با لمی از بلگول (1954) نشان داده ایم که، اگر b0 زیرسیگما هیاتی سره از سیگما هیات b باشد به طوری که b0 شامل مجموعه های تک عضوی x باشد، آن گاه زیرسیگما هیات b0 نمی تواند به کمک آماره ای تولید شده باشد. در ادامه مطابق بهادر (1955)، نشان داده ایم که شرط لازم و کافی برای این که هر زیرسیگما هیات از سیگما هیات b در فضای نمونه (x, b) توسط آماره ای تولید شود این است که x شمارش پذیر باشد. در نهایت نشان داده ایم که برای هر زیرسیگما هیات b0 یک آماره t: (x, b)---->(?r, r) وجود دارد به طوری که btb0 a.epb فصل سوم را با اثبات قضیه تجزیه به عوامل نیمن، در حالت خانواده های تحت تسلط، شروع می کنیم سپس زیرسیگما هیات های جفت واربسنده را تعریف کرده و نشان داده ایم که در خانواده های تحت تسلط، زیرسیگما هیات نشان داده ایم که زیرسیگما هیات های به طور کران دار کامل، همواره کمینه اند. در فصل چهارم، فضاهای آماری ناکامل را در نظر گرفته ایم. می دانیم که در چنین خانواده هایی زیرسیگما هیات های کمکی غیربدیهی وجود دارند. در این فصل شرح دقیقی از زیرسیگما هیات های کمکی و کمکی بیشینه و دو نوع سرشت نمایی برای زیرسیگما هیات های کمکی بیشینه ارائه کرده ایم. اولین سرشت نمایی، باسو (1959) بیان می کند که، در یک فضای آماری (x, b, p)، اگر m زیرسیگما هیات بسنده به طور کران دار کامل و am زیرسیگما هیاتی کمکی باشند به طوری که ?(amum) اساسا معادل با b باشد، آن گاه am کمکی بیشینه خواهد بود. نشان داده ایم که این قضیه به شرط -f1 کامل بودن لهمن (1981) نیز برقرار است . دومین سرشت نمایی توسط لهمن و شولز (1989) با تعریف فضاهای آماری به طور شرطی ضعیفا کامل (cwc) بیان می کند که، اگر am زیرسیگما هیاتی کمکی در فضای آماری پارامتری (x, b, p{p????h}) باشد، آن گاه گزاره های زیر دو به دو معادل اند: 1) am، اساسا کمکی بیشینه است . 2) هیچ b0?b وجود ندارد به طوری که p?(0?am) دارای صورتی am اندازه پذیر و مستقل از ? مثل ?b0 (x) با p (0<?b0 (x)<1)>0 باشد. 3) x به شرط cwc, am است . اعتقاد ما بر این است که سرشت نمایی لهمن و شولز (1989) با تغییراتی می تواند، در سرشت نمایی زیرسیگما هیات های بسنده کمیته نیز بکار رود. در حقیقت ، ما تا حدودی هم پیشرفت داشتیم، اما تا پایان رساله نتوانستیم نظریه ای را بر این اساس توسعه دهیم.