در این پایاننامه یک قضیه باناخ-آلااغلو از دیدگاه نظریه قلمرو، مشابه قضیه باناخ-آلااغلوی کلاسیک فضاهای برداری توپولوژیکی ارائه می دهیم. فضای دوگان مخروط مخروط جهت دار c را در نظر گرفته و نشان می دهیم که توپولوژی بالایی-ضعیف ستاره روی دوگان آن فشرده پایدار است. قضیه های متعددی فشردگی پایدار فضاهای ارزیابی ها روی یک فضای توپولوژیکی را نشان می دهند.در این پایاننامه ما شرط فشردگی پایدار را به فشردگی پایدار موضعی تضعیف می کنیم. همچنین برای توپولوژی بالایی-ضعیف ستاره و دوگان آن یعنی توپولوژی باز-پائینی فرمول بندی های تازه ای بر حسب مجموعه های قطبی و تابعی های مینکوفسکی ارائه می دهیم و به ویژه نشان می دهیم که مجموعه ساندویچ تابعی های خطی تحت توپولوژی وصله ای فشرده است.