گراف های وابسته به ساختارهای مختلف جبری تعریف شده واخیراً نتایج بسیار جالبی هم بدست آمده است. فرض کنیم $x$ یک زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت است و $xin x$. منظور از $(pi(x$، مجموعه ی شمارنده های اول $x$ است. قرارمی دهیم ${1}x*=x$. در این صورت گراف اول، گراف مقسوم علیه مشترک و گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک $x$ را به ترتیب با نمادهای $(delta(x)$، $gamma(x$ و $(b(x$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم. گراف اول گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی متشکل از اجتماع شمارنده های اول همه ی اعضای $x$ ، به طوری که دو رأس در این گراف مانند $p$ و $q$ مجاورند هرگاه عضوی از $x$ مانند $x$ موجود باشد که $pq$ شمارنده ی $x$ باشد. گراف مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار با مجموعه ی رأسی اعضای غیربدیهی $x$، به طوری که دو رأس از این گراف مجاورند هرگاه نسبت به هم اول نباشند. گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک گرافی است غیر جهت دار که مجموعه ی رأسی اش اجتماع مجزا از مجموعه های رأسی گراف اول و گراف مقسوم علیه مشترک است. یک عضو مانند $p$ از بخش اول با یک عضو مانند $x$ از بخش دوم مجاورند، هرگاه $p$ شمارنده ی $x$ باشد. هدف اصلی از این بحث معرفی گراف دوبخشی مقسوم علیه مشترک برای حاصل ضرب دو زیرمجموعه از اعداد صحیح مثبت و بررسی خواص ترکیبیاتی آن و استفاده از این خواص در نظریه گروه های متناهی است. یک تعمیم بسیار جالب از گراف مقسوم علیه مشترک $ip$-گراف نامیده می شود. درقسمت دوم این رساله ما فرم دوبخشی از $ip$- گراف را معرفی کرده و برخی خواص این گراف را مورد مطالعه قرار می دهیم.

چکیده ندارد.