اساس نظریه مجموعه های ناهموار، بدین صورت است که برای هر زیرمجموعه از یک مجموعه کلی، با استفاده از یک رابه هم ارزی، یک زوج مرتب از مجموعه ها را معرفی می کند. هر موفه را به ترتیب، تقریب پایینی و بالایی می نامند. تقریب پایین از یک زیرمجموعه،اجتماع تمام عناصری از مجموعه ی کلی است که کلاس هم ارزی مربوط به آن عنصر، در زیرمجموعه ی مورد نظر قرار گیرد و همچنین، تقریب بالا از آن زیرمجموعه، اجتماع تمام عناصری از مجموعه ی کلی است که کلاس هم ارزی مربوط به آن عنصر، با زیرمجموعه ی موردنظر دارای اشتراک ناتهی است. این پایان نامه مشتمل بر سه فصل می باشد. ما ابتدا مفاهیم اساسی از نظریه مشبکه ها و جبر فازی مربوط به حلقه ها را بیان می کنیم. در فصل دوم و سوم پس از معرفی دو نوع دیگر ار عملگرهای تقریب، به بیان قضایا و مفاهیمی گسترده پیرامون آن ها می پردازیم. ایده اصلی این پایان نامه از مقاله های rough set theory applied to (fuzzy) ideal theory نوشته جان موردسون و on the structure of rough prime (primary) ideals and rough fuzzy prime (primary) ideals in commutative ring نوشته عثمان کازانسی و بیژن دواز گرفته شده است.

در این پژوهش سنتز نانوذرات اکسید لانتانیم مورد بررسی قرار گرفت. انواع مواد اولیه، از جمله یک پلیمر کوردینه شده از لانتانیوم را با تارتاریک اسید و یا پیریدین-2،6-دی کربوکسیلیک اسید برای سنتز la2o3 مورد استفاده قرار گرفت. طیف سنجی مادون قرمز، پراش اشعه -x (pxrd) ، اسکن میکروسکوپ الکترونی (sem) و میکروسکوپ الکترونی عبوری (tem) برای مشخص کردن ساختار و مورفولوژی پودر سنتز شده مورد استفاده قرار گرفت. نتایج xrd نشان می دهد که تجزیه حرارتی پیجیده لانتانیوم با تارتاریک منجر به شکل گیری la(oh)2no3 واز تجزیه محصول پیریدین-2،6-دی کربوکسیلیک اسید با نیترات لانتانیم و سریم نیترات la4h12.19 به دست آمد. نتایج xrd نشان میدهد که: 1-نیترات لانتانیوم در واکنش با تارتاریک اسیدمنجر به تولید نانو ذرات la(oh)2no3 شد.با توجه به الگوی پراش اشعه ی x ومقادیر گزارش شده در استاندارد شماره 1144-0261-00 مشخص شده که ترکیب بدست امده la(oh)2no3 است و ساختمان بلوری این نانو ذرات کیوبیک میباشد وبا استفاده از رابطه ی دبای شرراندازه ی کریستالهای حاصل 19 نانو متر میباشد. 2-استفاده از لیگاند پیریدین 2و 6 دی کربوکسیلیک اسید به همراه لانتانیوم نیترات و سریم نیترات برای تهیه لانتانیوم اکسید دوپ شده با سریم منجر به تولید نانو ذرات la4h12.19 شده که با توجه به الگوی پراش اشعه ی x ومقادیر گزارش شده در استاندارد شماره 0431-32 ساختمان بلوری این نانو ذرات کیوبیک میباشد و اندازه کریستالهای حاصل با استفاده از رابطه دبای شرر حدود31 نانومتر میباشد.