ایده آل های یالی دو جمله ای وابسته به گراف ساده را بررسی می کنیم و خواص جبری آنها را مطالعه می کنیم و پایه گروبنرکاهش یافته برای گراف ارائه می دهیم.ثابت می کنیم ایده آل های یالی دو جمله ای ایده آل های رادیکال هستند و اول مینیمال های آنها را کا به زیر مجموعه ای از رئوس خاص گراف در ارتباتند معرفی می کنیم.

همچنین با استفاده از نتیجه های به دست آمده الگوریتم هایی برای امتحان یکتایی رنگ پذیری ارائه داده شد. به عنوان یک کاربرد، مثال نقضی را برای حدس ژو، مربوط به ‎3-‎رنگ پذیری یکتای گراف های بدون مثلث بررسی می کنیم ‎ایده ی اصلی این پایان نامه از مقاله ‎‎c‎. ‎hillar‎, ‎t‎. ‎windfeldt‎, ‎it algebraic characterization of uniquely vertex colorable graphs, ‎j‎. ‎combin‎. ‎theory ser‎. ‎b 98 (2008) 400-414‎. گرفته شده است

در این پایان نامه خواص مولدها و مولدهای تصویری دوری را در رسته ی s-سیستم های مرتب جزئی مورد مطالعه قرار می دهیم که در آن s یک تکواره مرتب جزئی است. نشان می دهیم برای هر a در رسته ی pos نگاشت pos(-,a) با عملی که روی آن تعریف می کنیم یک تابعگون مرتب جزئی با این ویژگی است که هر شیء از pos(s) پس از قرار گرفتن در آن می تواند به یک شیء در رسته ی (t)pos و بالعکس تبدیل شود. این ویژگی تحت شرایطی به ارتباط بین اشیاء تصویری دوری و مولدها در رسته های متفاوت می پردازد. در پایان شرایط معادلی را برای اشیاء تصویری دوری بیان می کنیم. ایده ی اصلی این پایان نامه از مقاله ی laan, v. generators in the category of s-posets. cent. eur. math. 6(3), 357-363(2008) گرفته شده است.

در این تحقیق به مطالعه ایده های اول حلقه های جابجایی میبردازیم. در واقع یک قضیه تحت عنوان قضیه ایده ال اول اصلی ارائه میدهیم و یک خانواده ایده ال اکا واکو تعریف میکنیم و نشان میدهیم که خانواده بزرگی از ایده ال های اول وجود دارند که تاکنون ناشناخته بوده اند.

در سرتاسر این پایان نامه حلقه ی r جابه جایی و یکدار است. در این تحقیق به مطالعه ی زیرمدول های اول مدول تصویری می پردازیم. در حقیقت در ابتدا وجود زیرمدول های اول را در برخی حالت ها ثابت می کنیم و سپس نشان می دهیم که زیرمدول هایی با خواص معین در فرمول رادیکال صدق می کند. هم چنین توصیفی جزئی از زیرمدول یک مدول تصویری که در خاصیت اول صدق می کند ارائه می دهیم.هدف اصلی این پایان نامه اثبات تساوی برای زیرمدول n از r- مدول تصویری m می باشد. کاسلندو مور در مرجع[10] اثبات کرده اند که تساوی برای زیرمدول n از یک r-مدول متناهی شده برقرار است. هم چنین در مرجع [5] بست و اسمیت نتیجه ای مشابه را برای هر r - مدول ضربی اثبات کرده اند. مرجع اصلی این پایان نامه مقاله ی زیر است: mustafa alkan, antalya, and yücel tira?, ankara, projective modules and prime submodules.56(131)(2006) 601-611 این پایان نامه شامل 4 فصل می باشد. فصل اول آن را به تعاریف و مفاهیم مقدماتی از حلقه و مدول اختصاص داده ایم. هم چنین در این فصل تعریف رادیکال یک زیرمدول چون n از r-مدول m را مطرح می کنیم که برابر با اشتراک زیرمدول های اول m شامل n می باشد و با m-rad n نمایش داده می شود. رادیکال زیرمدول ها در سال های اخیر توسط کاسلند و مور در مرجع [10] و اسمیت در مرجع [12] مورد مطالعه قرار گرفته است. در فصل 2، در ابتدا نتایجی از قضیه ی اجتناب از ایده آل های اول برای مدول ها و کاربرد هایی از آن را بیان می داریم. در ادامه ی این فصل تعریفی از زیرمجموعه های بسته ی ضربی و زیرمجموعه های s-بسته و اشباع شده و قضایای مربوط به آن را داریم. هم چنین در این فصل شرط اینکه یک زیرمدول n از مدول m در فرمول رادیکال صدق می کند را بیان می داریم. در فصل 3، مدول های ضربی و قضایای مربوط به آن مطرح می شود. در این قسمت شرایط لازم و کافی جهت برقراری تساوی برای زیرمدول n از r-مدول ضربی m را بیان می داریم. و در فصل آخر با رادیکال زیرمدول سرو کار داریم. در این فصل هدف اصلی، ارائه شرایط لازم و کافی جهت برقراری تساوی برای زیرمدول n از r - مدول تصویری m می باشد. هم چنین برای زیرمدول n از مدول تصویری متناهی تولید شده ی m نشان می دهیم که n اول است اگر و تنها اگر (n:m) اول و r/p ،m/n -مدولی تصویری باشد. از طرفی نشان می دهیم که برای زیرمدول n از مدول m، اگر m/n تصویری باشد، آن گاه تساوی برقرار است.

فرض کنید (r, ??) یک حلقه موضعی منظم باشد، و یک حلقه موضعی آرتینی باشد. در این تحقیق به محاسبه کران های بالا و پایین برای تعداد (i)?? ( اعضای مجموعه مولد مینیمالi ) می پردازیم و در حالتی که به کمک حلقه مدرج وابسته به a و تابع هیلبرت آن، قضیه ساختاری برای این حلقه ارائه می دهیم. ایده اصلی این پایان نامه از مقاله j. elias, g. valla, structure theorems for certain gorenstein ideals, michigan math. j, 57(2008), 269-292.

تکواره های مرتب جزیی s را به صورت در نظر می گیریم که g یک گروه مرتب جزیی و i یک ایده ال مرتب جزیی s است و نشان می دهیم که اگر یک s- سیستم مرتب جزیی به عنوان یک - سیستم مرتب جزیی، هموار ضعیف اصلی، هموار (ضعیف)، هموار مرتب جزیی، هموار مرتب جزیی ضعیف (اصلی) و بی تاب (مرتب جزیی) باشد یا در شرط های ، ، ، ، ، یا صدق کند، آنگاه به عنوان یک s- سیستم نیز این خاصیـت ها را دارد . همچنین نشان می دهیم یــک s- سیستم مرتب که به عنوان یک - سیستم مرتب جزیی، آزاد، تصویری یا هموار قوی باشد، در حالت کلی ممکن نیست به عنوان یک s- سیستم مرتب جزیی این خاصیت- ها را داشته باشد .

در این پایان نامه ما، گراف کلاس های هم ارزی مقسوم علیه های صفر یک حلقه جابجایی r را مطالعه می کنیم. در ادامه چگونگی دریافت اطلاعاتی درباره حلقه r از این ساختار را نشان می دهیم. به ویژه چگونگی شناسایی اول وابسته های حلقه r را به کمک گراف کلاس های هم ارزی مقسوم علیه های صفر آن تعیین می کنیم. ایده اصلی این پایان نامه از مقاله s. spiroff, c. wickham, a zero divisor graph determind by equivalence classes of zero divisor, comm. algebra 39 (2011), 2338-2348. گرفته شده است.

در سال ‎1971‎ اشتنتروم با هدف مطالعه –s ‎سیستم هایی خاص، که او آنها را هموار قوی نامید، مقاله ای را چاپ و منتشر کرد ]17[. مقاله اشتنتروم به ‎-s‎سیستم هایی چون ‎ اختصاص دارد و بیان می کند که تابعگون ×--‎ که از رسته ‎-s‎سیستم های چپ به رسته مجموعه هاست، تحت شرایطی، عقب بر و برابر ساز را حفظ می کند. ولی در مورد حفظ سایر حدود از جمله حاصل ضرب یا اشتراک متناهی یا دلخواه،درمطالعه ای انجام نشده است. از جمله کسانی که تحقیقات اشتنتروم را ادامه دادند، بولمن- فلمینگ و لان بودند که در سال ‎‎2001 مقاله ای تحت عنوان «‎‎حاصل ضرب تانسوری و حفظ حدود، برای سیستم هایی که روی تکواره ها تعریف می شوند»‎]6[‎ را چاپ و منتشر کردند که مرجع اصلی این پایان نامه می باشد. در این پایان نامه، با استفاده از مقاله فوق و چند منبع دیگر، حالات مختلف همواری در ‎-s‎سیستم ها و به خصوص ‎-sسیستم های خارج قسمتی مورد بحث و بررسی قرار گرفته و در پایان ارتباط بین آنها بیان شده است.

در این رساله رده هایی از ایدآل های تکجمله ای به نام ایدآل های تک-تجزیه و تفکیک پذیر را معرفی می کنیم که در خاصیت پابرجایی صدق می کنند. همچنین مجموعه ی پایداری ایدآل های اول وابسته به ایدآ ل های تکجمله ای (بدون مربع) را بررسی می کنیم. سپس نشان می دهیم که هر ایدآل (به ترتیب، ایدآل متناهیاً تولید شده) در یک حلقه ددکیند (به ترتیب، حوزه ی پروفر) خاصیت پابرجایی دارد و نیز مفهوم خاصیت پابرجایی را برای خانواده ای از ایدآل ها گسترش می دهیم. سرانجام ایدآل های مسیری گراف های ساده و نیز رفتار مجانبی ایدآل های اول وابسته به توان های آن ها را مطالعه می کنیم.

در این پایان نامه، گراف ایده آل-پوچ یک حلقه ی جابه جایی و یک دار r که با نماد (ag(r نمایش می دهیم، مورد مطالعه قرار می گیرد. در ابتدا شرایط تناهی گراف ایده آل-پوچ و در ادامه همبندی این گراف، قطر و رنگ آمیزی آن بررسی خواهد شد.

چکیده: در این پایان نامه، ما عناصر به طور ضعیف اول و عناصر تقریبا اول را در مشبکه های ضربی مطالعه می کنیم. در ادامه پی-مشبکه های ضعیف و مشبکه های عناصر اصلی و مشبکه های به طور ضعیف عناصر اصلی را مشخص می کنیم.هم چنین مشخصات جدیدی را برای پی-دامنه ها و مشبکه های عناصر اصلی بر اساس عناصر تقریبا اول ارائه می دهیم. در پایان نشان میدهیم که در یک مشبکه ی نوتری مانند l هر عنصر سره یک حاصلضرب متناهی از عناصر تقریبا اول است اگر و فقط اگر یک حاصلضرب مستقیم متناهی از دامنه های عتاصر اصلی یا مشبکه های عنصر اصلی ویژه و حاصلضربی از عناصر تقریبا اول ویژه باشد.