بره ها، بلورهای فوتونی دو بعدی هستند که ضخامت آن ها در جهت عمود بر صفحه تناوب محدود شده است و به دلیل داشتن گاف فرکانسی شبه سه بعدی و امکان ساخت آن ها با فن-آوری های موجود، مورد توجه قرار گرفته اند. با برهم زدن تناوب شبکه ی بلور فوتونی، می توان یک کاواک به وجود آورد. این کار را می توان با تغییر جنس یا اندازه ی یکی از حفره های شبکه انجام داد. ایجاد نقص نقطه ای در بره ها، موجب به وجود آمدن مدهای نقص درون باند ممنوعه ی فرکانسی می شود و میدان های الکترومغناطیسی جایگزیده حول موقعیت نقص را به وجود می-آورد. دو پارامتر مهم در بررسی میکروکاواک های بلور فوتونی ضریب کیفیت و حجم مد نقص است. ضریب کیفیت معیاری از محبوس شدگی نور درون کاواک، و حجم مد کمیتی برای اندازه-گیری میزان جایگزیدگی میدان های الکترومغناطیسی است. برای محاسبه ی فرکانس مدها، پروفایل میدان های الکترومغناطیسی، ضریب کیفیت و حجم مد از بسته ی نرم افزای gme بر پایه ی بسط مدهای هدایت شده استفاده شده است. این محاسبات برای میکروکاواک هایی با ساختارها و هندسه های مختلف انجام شده است. نتایج محاسبات نشان می دهد که با ایجاد تغییر در حفره های اطراف نقص نقطه ای می توان ضریب کیفیت میکروکاواک را به طور قابل ملاحظه ای افزایش داد. از میان ساختارهایی که در این پایان نامه مورد بررسی قرار گرفته اند، چند مورد افزایش ضریب کیفیت قابل توجهی را نشان می دهند. یکی از این موارد نقص l1 با جابجایی حلقه ی اول از حفره ها و دیگری نقص l3 با جابجایی دو حفره نزدیک به نقص است، که با افزایش ضریب کیفیت به ترتیب در حدود 33 و 25 برابر، قابل توجه است. هر چند در بررسی سایر ساختارها افزایش ضریب کیفیت به نسبت کمتری را شاهد هستیم ولی به همین میزان افزایش در ضریب کیفیت از نقطه نظر کاربردی از اهمیت بالایی برخوردار است.

یکی از روش های حل معادلات دیفرانسیل استفاده از تبدیلات انتگرالی می باشد.در این پایان نامه، ابتدا به یادآوری برخی از تبدیلات انتگرالی می پردازیم.در ادامه تبدیل جدیدی به نام تبدیل الزاکی را معرفی می نماییم و کاربردهای این تبدیل انتگرالی را در حل معادلات دیفرانسیل معمولی ، جزیی و سیستم این معادلات بررسی می کنیم. از آنجا که تبدیل الزاکی به تنهایی برای حل معادلات دیفرانسل غیرخطی کارآمد نیست به دنبال راهکاری بودیم تابتوانیم این معادلات را به روش بهتری حل کنیم بدین منظور در پایان بعد از یادآوری روش هموتوپی، ترکیب این روش را با تبدیل الزاکی مطرح می کنیم و از این روش برای حل دو نوع معادله دیفرانسیل جزیی غیرخطی پرکاربرد یعنی معادله برگر و معادله کورتوگ دو-ریس(کا دی وی)استفاده می کنیم. این روش نسبت به روش تجزیه آدومیان هم محاسبات را کاهش می دهد هم جواب دقیق را نتیجه می دهد.

جنس sonchusدر ایران دارای پنج گونه و cephalorrhynchus دارای 9 گونه ی شناخته شده در ایران می باشد. در این پژوهش بررسی های بیوسیستماتیکی جمعیتی روی برخی گونه های دو جنس sonchus و cephalorrhynchus در ایران با استفاده از مطالعات ریخت شناسی و ریز ریخت شناسی، گرده شناسی، انجام شده است. نتایج آماری با استفاده از نرم افزار spss ver.20 برای بررسی تنوع بین گونه ای بر روی صفات کمی و کیفی، مشخص ساخت که در جمعیت های گونه های sonchus بیشترین تنوع مربوط به صفات: طول گریبان های درونی، میانی و شکل فندقه و وضعیت پوشش کرکی ساقه و گل آذین آن و در جنس cephalorrhynchus بیشترین تنوع مربوط به صفات فندقه (شکل فندقه، رنگ فندقه، طول و عرض فندقه) می باشد. در این پژوهش برای اولین بار ساختار تشریحی دو جنس sonchus و cephalorrhynchus را موردبررسی قرار دادیم. مطالعات تشریحی با بررسی برش های عرضی ساقه، برگ، فندقه در دو جنس و بررسی بشره جنس sonchus انجام شد. در بررسی های تشریحی در جنس sonchus ضخامت اپیدرم، کلانشیم، طول آوند چوب و آبکش (ساقه)، ضخامت کلانشیم در (برگ)، نسبت اندوکارپ و اگزوکارپ، و طول لایه ی اگزوکارپ و اندو کارپ (فندقه) و در cephalorhynchus طول دستجات چوب و آبکش بیشترین تنوع (ساقه) و طول لایه ی اگزوکارپ و اندوکارپ (فندقه) اختلاف معنی داری را نشان می دهند. دانه ی گرده در جنس sonchus ، 3-4- zonocolporateبا تزیینات echinate با فرم کلی lophate می باشد مشاهده شد.