این پایان نامه، یک مجموعه ی جدید از توابع قطعه ای پیوسته به نام توابع متعامد مثلثی را که از توابع معروف بلاک-پالس به دست می آیند، معرفی نموده و به بررسی و مقایسه خواص آن ها می پردازد، همچنین ماتریس های عملیاتی انتگرال این توابع را تولید و سپس با استفاده از توابع متعامد مثلثی به حل مستقیم مسائل حساب تغییرات می پردازد و فرمول هایی را تولید خواهند شد که برای محاسبه انتگرال های موجود در مسائل حساب تغییراتی به کار می روند. از این رو می توان با کمک این روابط مسئله حساب تغییراتی به یک دستگاه معادلات جبری (خطی یا غیر خطی) تبدیل کرد. این مسائل را به یک معادله جبری تبدیل می کنند. در انتها چند مثال از مسائل حساب تغییرات را آورده و آن ها را توسط معرفی شده حل کرده، که کارایی و دقت این روش را در حل مسائل حساب تغییراتی نشان می دهد.

یکی از موثرترین روش های بدون شبکه برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی روش جواب های اساسی می باشد. در این روش بدون شبکه مرزی، هیچگونه گسسته سازی بر روی دامنه و مرز انجام نمی گیرد و فقط با استفاده از تعدادی نقطه پراکنده معادله دیفرانسیل موردنظر حل می شود. برای جلوگیری از منفرد شدن جواب های اساسی، یک مرز مجازی اطراف مرز فیزیکی در نظر گرفته می شود و نقاط چشمه و هم محلی به ترتیب بر روی مرزهای مجازی و فیزیکی انتخاب می شوند. برای حل معادلات پواسون، جواب به دو قسمت همگن و جواب خصوصی تقسیم می شود. جواب قسمت همگن با روش جواب های اساسی و جواب خصوصی با استفاده از توابع پایه ای شعاعی بدست می آیند. در یک معادله پواسون پیچیده تعیین جواب اساسی صریح، اکثراً مشکل و یا حتی غیرممکن می باشد. در این پایان نامه برای رفع این مشکل روش معادله قیاسی پیشنهاد شده است. در این تکنیک، ابتدا معادله اصلی به یک معادله پواسون هم ارز ساده برحسب یک تابع ساختگی تبدیل می شود. سپس روش جواب های اساسی برای معادله جدید بکار می رود‎.

در این پایان نامه، دسته ای از روش های عددی برای حل مسائل حساب تغییرات بر پایه روش های شبه طیفی کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شود. مزیت روش غیرکلاسیک آن است که تابع های وزن اختیاری برای تولید چندجمله ایهای متعامد استفاده می شوند و دامنه ای بزرگتری برای نقاط هم مکانی و ماتریس های مشتق را ممکن می سازند. به وسیله مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ی یک ماتریس سه قطری متناظر چندجمله ا یهای متعامد، گره ها (نقاط هم مکانی) و وزن های انتگرال گیری عددی گاوس ارائه می شوند. روش های شبه طیفی نیز به صورت دو دسته کلاسیک و غیرکلاسیک ارائه می شوند. همچنین در ادامه نتایج عددی برای حل چند مسئله حساب تغییرات آورده شده و به طور ضمنی مورد مقایسه قرار گرفته اند.

در این پایان نامه با استفاده از روش عناصر متناهی به حل معادلات سهموی از جمله معادله گرما و معادله انتگرال-دیفرانسیل سهموی می پردازیم. معادلاتی را مطرح کرده و تغییر فرموله می دهیم، سپس جواب مسئله ی تغییر یافته را با استفاده از توابع پیوسته قطعه ای خطی که روی مثلث بندی دامنه مسئله تعریف می شوند تقریب می زنیم. همچنین پایداری و تخمین خطا را برای جواب مسائل مطرح شده، مورد بررسی قرار می دهیم.

در این پایان نامه، ابتدا به مدل بندی دو مسئله ی فیزیکی، الاستو-پلاستیک و اخترفیزیک خواهیم پرداخت. معادله ی الاستو-پلاستیک یک مسئله ی ناپایدار غیرخطی است که دارای نقطه ای منفرد می باشد و معادله ی دوم که به معادله ی لین-امدن معروف است، یک معادله دیفرانسیل معمولی روی بازه ی نامتناهی می باشد. سپس پایه های سینک به همراه خواص آن معرفی می شوند.در ادامه با استفاده از پایه های سینک و با روش سینک-گالرکین به حل دو مسئله ی الاستو-پلاستیک و اخترفیزیک خواهیم پرداخت و نتایج عددی حاصل را با روش های دیگر مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه به وسیله ی روش تفاضلات متناهی جواب معادلات با مشتقات جزیی، برای دو معادله ی کلاین-گوردن و کلاین-گوردن-زاخاروف تقریب زده می شود، که در آن معادله ی کلاین-گوردن یک معادله موج یک بعدی خطی روی دامنه ی بیکران و معادله ی کلاین-گوردن-زاخاروف یک معادله موج یک بعدی غیرخطی روی دامنه ی کراندار می باشند. برای حل معادله ی کلاین-گوردن روی دامنه ی بیکران دو شرط مرزی مصنوعی به منظور تبدیل مسئله ی اصلی به یک مسئله ی مقدار اولیه مرزی روی یک دامنه ‍ ی کراندار معرفی می شود که توسط یک روش تفاضلات متناهی صریح آنالیز می شود. همچنین یک الگوریتم سریع برای کاهش هزینه محاسباتی و یک روش مرزی مصنوعی گسسته که از ایده ی تبدیل z ناشی می شود، نیز بدست می آیند. برای حل معادله ی کلاین-گوردن-زاخاروف یک روش تفاضلات متناهی ضمنی و یک روش صریح معرفی می شوند. پایداری، همگرایی و یکتایی جواب هر دو معادله به روش انرژی بررسی می شود.

در این پایان نامه، حل عددی معادله ی موج خطی با شرایط اولیه و مرزی، به عنوان مثال اصلی معادلات دیفرانسیل جزئی هذلولوی خطی مرتبه ی دوم، در نظر گرفته می شود.ابتدا روش عنصر متناهی برای نیم گسسته سازی مکانی بکار برده می شود. سپس، گسسته سازی زمانی با روش های تفاضل متناهی کرانک-نیکلسون و نیومارک در نظر گرفته می شود. روش گالرکین پیوسته نیز برای گسسته سازی کامل بررسی می شود. هم ارزی این روش ها اثبات و به وسیله مثال های عددی نشان داده می شود. در پایان، تخمین خطای پسین برای روش گالرکین پیوسته و استراتژی های متفاوت برای روش های انطباقی مورد تجزیه و تحلیل قرار خواهد گرفت.

در این پایان نامه‎،‎ ابتدا به طور مختصر به معرفی موجک ها و نحوه ی ساخت آنها اشاره می کنیم‎.‎ در ادامه موجک اسپلاین مکعبی هرمیتی که یک موجک شبه متعامد است را با استفاده از آنالیز چندریزه سازی می سازیم‎.‎ سپس با روش گالرکین و هم مکانی و استفاده از پایه های موجک اسپلاین مکعبی هرمیتی مسائل اشتورم-لیوویل‎،‎ معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم و دیفرانسیل غیرخطی با شرایط مرزی متناوب را به یک دستگاه تبدیل می کنیم‎.‎ نتایج عددی را برای چند مثال از معادلات فوق ارائه می دهیم‎.‎ سرانجام به بررسی نقاط ضعف و قوت این موجک می پردازیم‎.‎

روش تفاضلات متناهی یکی از پرکاربردترین روش های عددی برای حل مسائل مقدار مرزی و معادلات با مشتقات جزئی است. در این پایان نامه، به حل دو مسأله ی مقدار مرزی منفرد که دارای کاربردهایی در فیزیولوژی می باشند، با روش تفاضلات متناهی می پردازیم. در ادامه، به بررسی همگرایی این روش می پردازیم و نشان می دهیم که این روش تفاضلات متناهی دارای مرتبه دقت دو می باشد. در پایان، این روش را برای دو مثال بکار برده و نتایج عددی حاصل از این روش را با روش های دیگر مقایسه می کنیم.

در این پایان نامه دستگاه های خطی نامعین بلوکی 2*2 را بررسی می کنیم. چنین دستگاه های در بسیاری از کاربردها رخ می دهند.دو روش را بررسی می کنیم که اساس کار آنها اصلاح بلوک (1و1) به گونه ای است که دستگاه سادهتر حل شود. بخش اصلی کار بر روی لاگرانژ افزوده متمرکز است. روشی که بلوک (1و1) را بدون تغییر اندازه اصلاح کند. موضوع انتخاب پارامتر مناسب و عدد شرط دستگاه مورد بحث قرار خواهند گرفت. یک روش تهی سازی بلوک (1و1) نیز معرفی می شود

ابتدا تقریب سینک را بررسی نموده سپس حل عددی معادلات انتگرال فردهلم نوع دوم را با استفاده از روش هم محلی سینک ارائه می دهیم. همچنین همگرایی تقریب سینک را برای این دسته از معادلات انتگرالی به صورت تحلیلی بررسی کرده و نشان می دهیم مرتبه همگرایی روش، نمایی و به صورت ((o(e^(-k?n است که k مستقل از n می باشد.

در این پایان نامه به معرفی قاب های فضای هیلبرت می پردازیم و بعد از بحث در مورد خواص این قاب ها با یکی از روش های ساخت قاب های تنگ نرم-واحد به نام تتریس طیفی آشنا می شویم‎.‎ سرانجام کاربرد قاب های فضای هیلبرت را در حوزه پردازش سیگنال و حل عددی معادلات دیفرانسیل با شرایط مرزی که منجر به روش گالرکین-موجک می شود‎،‎ بیان می کنیم‎.

چکیده ندارد.

چکیده ندارد.