در این پایان نامه، مسئله‏ ی وجود مکمل جبری ‎(مکمل)‎ مشترک بین دو زیرفضای بسته ی یک فضای باناخ مورد بررسی قرار گرفته و دو دسته بندی برای آن به دست آمده است. دسته ی اول جفت زیرفضاهایی هستند که با یک جفت گراف عملگرهای خطی و کران دار، بین دو فضای باناخ دیگر، همریخت اند. دسته ی دوم جفت زیرفضاهایی از یک فضای باناخ مانند x ‎ هستند که برای آنها یک عملگر بازگشت مانند sروی xوجود دارد به طوری که این دو زیرفضا را مبادله می کند و i+s‎روی اجتماع این دو زیرفضا از پایین کران دار است. علاوه براین نشان داده شده که، در فضاهای هیلبرت جدایی پذیر زیرفضاهایی مکمل مشترک دارند که یا در موقعیت هم ارزی هستند و یا مجانب کامل یکدیگر نیستند. همچنین ارتباط بین بسته بودن مجموع دو زیرفضا و وجود مکمل مشترک میان آن دو بررسی شده است

در این پایان نامه، عملگرگسسته شرودینگر با پتانسیل bو ثابت جفت ساز نامنفی معرفی کرده، سپس خواص طیفی و کران های طیفی آن را مورد بررسی قرار خواهیم داد. به طور دقیق تر، ابتدا ثابت می کنیم که طیف عملگر دلتا برابر با[0,4d]است. ‏حال اگر عملگر گسسته شرودینگر را بعنوان آشفتگی عملگر دلتا‎ در نظر بگیریم، آنگاه هدف اصلی این پایان بررسی میزان آشفتگی [0,4d] تحت پتانسیل ‎b خواهد بود.کران پایین و کران بالای طیف عملگر گسسته شرودینگر را معرفی می کنیم، ما یک شرط لازم و کافی برای پتانسیل ‎b ارائه خواهیم داد‏‏ به طوری که برای ثابت های نامنفی جفت ساز به اندازه کافی کوچک کران پایین، اکیداً مثبت باشد. همچنین شرط لازم و کافی مشابهی برای پتانسیل b بیان می کنیم به طوری که برای ثابت جفت ساز نامنفی به اندازه کافی کوچک راس طیف این عملگر کمتر از4d باشد.

در این پایان نامه عملگر های خاصی به نام ep را روی فضاهای هیلبرت معرفی خواهیم کرد سپس بر این موضوع سعی شده است که تمام ویژگی های ان بیان وثابت شوند.همچنین تجزیه های متفاوت ان برای این نوع عملگر های خاص میسازیم وانها را ثابت کنیم.ای پایان نامه از مراجع [19]و[20]و[24] اقتباس شده است. در فصل اول تعاریف و مفاهیم مورد نیاز مخصوصا تعاریف و ویژگی های فضاهای ضرب داخلی و فضای هیلبرت تعامد و الحاق روی فضاهای هیلبرت و عملگر با ویژگی های جالب را بیان وثابت کرده ایم. در ضمن نماد گذاری های مورد نیاز در این پایان نامه در این فصل امده اند. در فصل دوم تجزیه این عملگر را به سه عامل را خواهیم دید که در این تجزیه ها از الحاق این عملگرو جمع مستقیم استفاده میکنیم. در فصل سوم تجزیه های این عملگر و حتی الحاق و وارون مور _ پنروس ان راوهمچنین تجزیه ترکیب این عملگر ها با الحاق شان را اورده ایم. اما در فصل اخر جالبترین وساده ترین تجزیه این عملگر که همان تجزیه به فرم ترکیب یک عمگر بک به یک و عملگر پوشا بیان و اثبات شده است. و در اخر مراجع و واژه نامه اورده شده است.

فرض کنید a یک جبر باناخ باشد و (σ(x و (r(x به ازای هر xϵ a طیف و شعاع طیفی باشند ما روابط بین که در یکی از شرایط زیر صدق می کند.روابط بین a,b ϵ a که در شرایط زیر صدق می کند را بررسی خواهیم کرد. 1.(σ(ax)=σ(bx) (∀xϵa 2.r(ax)≤r(bx) ( ∀xϵa بویژه مشاهده خواهیم کرد که (1)نتیجه می دهد که اگر a یک c*-جبر باشد آنگاه a=b و (2) نتیجه می دهد که اگرa یک c*-جبر اول باشد آنگاه a ϵ cb. در نهایت به عنوان نتیجه ای از دو مساله مطرح شده به بررسی نگاشت های ضربی می پردازیم.

قضیه ی زمردی در نظریه ی اعداد، بیان می کند که هر زیرمجموعه از اعداد صحیح با چگالی بالایی مثبت، شامل تصاعدهای حسابی با طول به دلخواه بزرگ است. در این پژوهش قصد داریم اثبات ارگودیکی قضیه ی زمردی که توسط فرستنبرگ ارائه شده است، را بررسی کنیم.

سه نظریه کوهمولوژی با عنوانهای پیوسته، پیوسته و کراندار وضعیت* پیوسته و کراندار، برای نمایشهای نیمرگروههای توپولوژیک روی فضاهای برداری توپولوژیک خاص، تعریف می کنیم. روابط بین گروههای کوهمولوژی تعریف شده با یکدیگر و با گروههای کوهمولوژی ها خشیلد جبرهای باناخ نیمگروهی را بررسی می کنیم. مفاهیم کوهمولوژیکی میانگین پذیری جانسون و میانگین پذیر تقریبی جانسون را برای نیمگروههای توپولوژیک تعریف می کنیم. همچنین، برخی کاربردها و مثالهای محاسباتی را بررسی می کنیم.

توپولوژی ناجابجایی شاخه ای از ریاضیات است که در قرن گذشته بوجود آمده است. پژوهش در این شاخه منجربه کاربردهای فراوانی در شاخه های مختلف ریاضی و ریاضی فیزیک شده است. منشأ این شاخه را می توان قضیه ای دانست که ایزرائیل گلفاند(1913-2009) ریاضیدان برجسته ی هم عصر ما بیان کرد. طبق این قضیه، رابطه ای دوگانی بین رسته ی فضاهای توپولوژیک فشرده و هاسدورف و رسته ی *c- جبرهای جابجایی و یکدار برقرار است یعنی هر فضای توپولوژیک فشرده و هاسدورف را می توان به یک *c- جبر جابجایی و یکدار متناظر کرد. وجود این رابطه ی دوگانی سبب شد که بتوان ویژگی های فضاهای توپولوژیک فشرده و هاسدورف را در *c-- جبرها نیز بررسی کرد و البته بالعکس. در این پایان نامه ضمن بررسی رابطه ی دوگانی گلفاند، نظریه های مانستگی را برای فضاهای ناجابجایی بیان کرده و به عنوان مثالی از آن ها نظریه ی کِی را معرفی می کنیم. در فصل اول مفاهیم و قضیه هایی از توپولوژی جبری و نظریه ی *c-- جبرها را که در این پایان نامه مورد نیاز است بیان می کنیم. در فصل دوم رابطه ی دوگانی گلفاند را معرفی می کنیم و در فصل سوم هم به بیان نظریه ی مانستگی و پاره ای از قضایای مربوط به آن می پردازیم. یکی از مهم ترین قسمت های این پایان نامه که نظریه ی مانستگی و همانستگی تعمیمی برای فضاهای ناجابجایی است را در فصل چهار با بررسی مقاله ی کلود شاکت تحت عنوان روش های توپولوژیک برای *c-جبر ها انجام می دهیم. در فصل پنجم نیز با بیان چند مثال از نظریه های مانستگی و همانستگی کار را به پایان می بریم.

به صورت کلی یک فضای ناجابجایی، فضایی نمادین است که توسط -c*جبرهای توابع پیوسته ی نمادین روی آن معرفی می شود. به عبارت دیگر رسته ی فضاهای ناجابجایی دوگان رسته ی- c* جبرها است. در این پایان نامه نظریه ی جبری کِی c*-جبرها و نظریه ی توپولوژیکی کِی c*- جبرها و فضاهای توپولوژیک بررسی می شوند.