در این پایان نامه به بررسی کاربرد گروههای لی در کنترل وضعیت سیستمهای مکانیکی می پردازیم. مقصود از کنترل وضعیت، کنترل پارامترهایی از سیستم می باشد که به وضعیت سیستم یعنی مکان و جهت گیری مربوط می شوند. زبان حاکم بر پایان نامه، هندسه دیفرانسیل است، لذا با مفاهیم اساسی از هندسه دیفرانسیل که در مکانیک و کنترل هندسی کاربرد دارند آشنا شده و نحو? مدلسازی مفاهیم مکانیکی نظیر فضای وضعیت، فضای حالت، سرعت، نیرو و ... را به زبان هندسی بیان می کنیم. سپس با استفاده از معادلات اویلر-لاگرانژ، معادلات هندسی حاکم بر سیستمهای مکانیکی را به دست می آوریم و با مدلسازی هندسی قیود، این معادلات را برای سیستمهای مقید بازنویسی می کنیم. گروههای لی به عنوان دسته ای از منیفلدها که ساختار گروهی دارند، به طور طبیعی فضای حالت بسیاری از سیستمهای مکانیکی می باشند. با معرفی ابن گروهها و بیان مفهوم جبر لی، متریک و ارتباط های افاین روی گروههای لی، با مفهوم سیستمهای مکانیکی بر روی گروههای لی آشنا می شویم و سپس به دو کاربرد این گروهها اشاره می کنیم. در نهایت به دو مسئل? مهم در تئوری کنترل سیستمهای مکانیکی، یعنی کنترلپذیری وضعیت و مسئل? تعقیب در سیستمها بر روی گروههای لی می پردازیم. مسئل? کنترلپذیری از مسائل اساسی در تئوری کنترل است، با این حال تا کنون روشی جامع برای بررسی کنترلپذیری سیستمهای غیر خطی ارائه نشده است. در این پایان نامه روشی برای سنجش مفهومی ضعیفتر از کنترلپذیری، یعنی کنترلپذیری وضیعت ارائه شده است. در مسئل? تعقیب روشی که ارائه می شود، با استفاده از ویژگی زبان هندسی یعنی امکان بررسی مسائل فارغ از انتخاب دستگاه مختصات، بر روی مسائل اساسی و ذاتی طراحی تمرکز دارد.

برد عددی عملگرهای سه قطری با اتحاد های راگرز رامونجان بدست می آید در این پایان نامه برد عددی عملگر سه قطری و ماتریس های متناهی سه قطری مورد مطالعه قرار می دهیم و در حالت خاص نشان می دهیم که برد عددی ماتریس سه قطری با بعد متناهی کلاف محدب دو بیضی مشخص می باشد و با استفاده از این نتیجه برد عددی عملگر سه قطری در حالت نامتناهی را که مربع بدون راس می باشد را بدست می آوریم.

پایان نامه حاضر به مطالعه یک مدل ریاضی برگرفته از عملکرد سلول های سرطانی در مواجه با سلول های ایمنی و سلول های سالم (میزبان) بدن می پردازد. در این مدل تاثیر دارو نیز در نظر گرفته شده است. تحلیل پایداری حالت های تعادل دستگاه معادلات دیفرانسیل توصیف کننده بیماری، که به کمک تئوری سیستم های پویا انجام گرفته، ما را در جهت کنترل بیماری به کمک دارو یاری می کند. ارائه مدل در قالب سیستم معادلات دیفرانسیل با مشتقات مرتبه کسری ابتکار به کار رفته در این پایان نامه می باشد. از جمله مزایای مشتقات مرتبه کسری در مقایسه با مشتقات مرتبه صحیح، دارا بودن خاصیت غیر موضعی است. مقایسه نتایج حاصل از حل دستگاه معادلات با مشتقات مرتبه کسری و مشتق معمولی، نزدیکتر بودن سیستم معادلات با مشتقات مرتبه کسری به واقعیت را تقویت می کند.

در این پایان نامه به بیان مفهوم تاربندی ها می پردازیم و نشان می دهیم تاربندی ها تعمیمی از نگاشت های پوششی هستند. سپس تعدادی از خواص جبری فضا های پوششی و گروه خودریختی فضا های پوششی را به دست می آوریم. در ادامه با معرفی فضا ها ی پوششی عمومی، منظم و گالوا به طبقه بندی فضا ها ی پوششی پرداخته و ثابت می کنیم هر فضای پوششی عمومی یک فضای پوششی منظم و هر فضای پوششی منظم یک فضای پوششی گالوا است. در انتها پس از معرفی فضا های اسپانیر نشان می دهیم همه ی پوشش ها ی عمومی، فضا ها ی اسپانیر هستند

در این پایان نامه منیفلدها و گروه های لی را معرفی می نماییم. عمل مشتق پذیر یک گروه لی روی یک منیفلد و قضایای مهم دیگری را مطرح می کنیم.همچنین گروه وار ها، گروه وار های لی و زیرگروه وار ها و مثال هایی از آن ها مطرح می شوند.سپس ریخت پوششی از گروه وارهای لی و هم ارزی رسته scov(m) از پوشش های منیفلد همبند m و رسته lgdcov(?_1 m) از پوشش های گروه وار بنیادی ?_1 m را نشان می دهیم. همچنین عمل یک گروه وار لی روی یک منیفلد را معرفی می کنیم. سپس هم ارزی رسته lgdcov(g) از پوشش های گروه وار لی g و رسته lgdop(g) از عمل های گروه وار لی g روی یک منیفلد همبند m را نشان می دهیم. در انتها به گروه-گروه وار های لی و پوشش ها و عمل های آنها می پردازیم.

کلاف های برداری تعمیمی از ضرب خارجی یک فضای توپولوژیکی با یک فضای برداری است. در این طرح می خواهیم نشان دهیم که کلاس های مشخصه به هر کلاف برداری یک کلاس از فضای پایه نسبت می دهد. در ابتدا با یک نظر اجمالی ممکن است به نظر آید فانکتور کلافی مماس ممکن است ساده نباشد،زیرا کلاف برداری یک منیفلد به همراه یک ساختار اضافی است )زیرا یک کلاف مماسی به طور متعارف به یک منیفلد نسبت داده شده می شود..(تغییرات کلاس هایمشخصه منجر به تغییرات برای کلاف های مماس میشود.برای مثال قضیه چرن _ویل از کلاس های مشخصه ای است که در هندسه دیفرانسیل برای به وجود آوردن تغییرات بر کلاف های برداری استفاده میشود.کاربرد کلاف های مماس،کلاس های مشخصه منجر به دیفیومورفیسم های پایای عددی برای منیفلد می شود که اعداد مشخصه نامیده می شود.اعداد مشخصه برای مثال به ویژگی کلاسیک اولر تعمیم داده می شود. یک مقطع از کلاف برداری ?:e?mیک نگاشت از m به e است که هر نقطه ای از mرا به داخل تاری از کلاف روی همان نقطه می نگارد. همان طورکه می دانیم میدان های برداری و فرم های دیفرانسیل روی منیفلد هر دو مقطع هایی از کلاف های برداری روی منیفلد می باشد. در سال 1895 در یک سری از مقالات پیشگام، که با analysis situt شروع می شود پوانکاره مفهوم همولوژی را معرفی کرد و توپولوژی جبری مدرن را بنا گذاشت. به طور کلی، یک منیفلد فشرده بدون مرز یک چرخ است و یک چرخ با صفر متشابه است اگر مرز منیفلد دیگری نباشد. کلاس های هم ارزی از چرخ ها تحت رابطه ی همولوژی کلاس های همولوژی نامیده می شود. در سال 1931 جرج دراهام در پایان نامه ی دکترایش در نتیجه ی آنچه اکنون دراهام کوهمولوژی و همولوژی منفرد با ضرایب حقیقی ثابت می نامیم نشان داد که فرم های دیفرانسیل در همان اصول مانند چرخ ها و مرز ها صدق می کنند. اگر چه او در این مقاله به صراحت دراهام کوهمولوژی را تعریف نکرد، به آن در کارش اشاره شده بود. در سال 1938 یک تعریف رسمی از دراهام کوهمولوژی ظاهر شد.

در پایان نامه حاضر، مطالعات صورت گرفته را بر پایه مقاله interactions که در سال 2007 توسط roy exel در مجله journal of functional analysis جلد 244 در صفحات 26-62 به چاپ رسیده است انجام می دهیم و در آن فرض شده است که c*-جبر b و *-زیر جبر بسته a از b و ایزومتری جزئی s در b داده شده باشد و s با a بر هم کنش دارد به این معنی است که sas* = v(a)ss* s*as = h(a)s*s که در آن v و h عملگرهای خطی مثبت روی a هستند همچنین خاصیت هایی را بدست می آوریم که v و h در آن صدق می کنند. b و s را نادیده می گیریم و یک اثر متقابل را تعریف می کنیم . یک اثر متقابل یک زوج از نگاشت های ( v , h ) می باشد که در آن خاصیت هایی که بدست می آوریم صدق می کند . با یک اثر متقابل مجرد ( v, h) روی یک c*-جبر a شروع می کنیم و c*-جبر b را که شامل a و ایزومتری جزئی s می باشد ، به گونه ای می سازیم که s با a دارای یک اثر متقابل بوده و در قوانینی که در ابتدا ذکر شد ، صدق کند . سپس امکان ساختن یک جبر همورد از یک اثر متقابل را بررسی می کنیم. از این موضوع به این نتیجه می رسیم که نیاز به تعمیم مفهوم تناظرها داریم که ما آن را تناظر تعمیم یافته می نامیم. این موضوع باید به صورت یک تناظر عمومی دیده شود بجز ضرب های داخلی که نیازی نیست در جبرهای ضربی قرار بگیرد. سپس جبر همورد با استفاده از یک تناظر طبیعی از ساختار ساختار پیمسنر از جبرهای کانتز-پیمسنر تعریف می شود .

چکیده ندارد.