در این پایان نامه به مطالعه ی گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به سه ماتریس مجاورت، لاپلاسین و لاپلاسین فاقد علامت می پردازیم. مطالعه ی گراف ها با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به ماتریس مجاورت، اولین بار توسط دوب در سال 1970 مورد توجه قرار گرفت. اولین بررسی ها در مورد گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به ماتریس لاپلاسین، توسط ون دام و همرز در سال 1995 انجا م گرفت و این کار در مورد لاپلاسین فاقد علامت برای اولین بار در این پایان نامه مورد توجه قرار خواهد گرفت. گراف ها با یک و دو مقدار ویژه ی متمایز نسبت به این سه ماتریس ، به ترتیب گراف های تهی و گراف های کامل می باشند. دو خانواده ی شناخته شده از گراف ها با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس مجاورت، گراف های قویاًً منظم و دوبخشی کامل هستند. رده بندی گراف های غیر منظم و غیر دوبخشی کامل با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس مجاورت، اولین بار توسط همرز مطرح شد. گراف های قویاًً منظم، خانواده ا ی از گراف ها با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس های لاپلاسین و لاپلاسین فاقد علامت نیز می باشند. در این پایان نامه نتایج مهم موجود در مورد گراف های با سه مقدار ویژه ی متمایز، نسبت به مجاورت و لاپلاسین و نتایج جدید به دست آمده در مورد گراف ها ی با سه مقدار ویژه ی متمایز نسبت به ماتریس لاپلاسین فاقد علامت ارایه خواهد شد و در ادامه ی هر بحث سعی می کنیم مطالعه ای روی گراف های با تعداد کم مقدار ویژه ی متمایز و با طیف صحیح نسبت به این ماتریس ها داشته باشیم.