بررسی گروه خودریختی های شیئ مفروض xدر یک رسته موضوع جالب وغالبا پیچیده ای است. در آنالیز و هندسه مختلط نگاشت های تمامریخت بین دامنه های مختلط منجر به بررسی خمینه های مختلط می شود و در این راستا گروه خود ریختی های شیئ xرا با aut(x)نمایش می دهند. دامنه های کراندار با مرز هموار در cnدو دسته اند: یکی با گروه خودریختی های فشرده و دیگری با گروه خودریختی های غیرفشرده. با دانستن این که یگانه دامنه کراندار در cn با مرز هموار تا درجه دو که اکیدا شبه محدب باشد و گروه خودریختی هایش غیرفشرده باشد فقط گوی یکه است توجه به حالت های غیرفشرده جذب شد. ما دراین پایان نامه ضمن آنکه اثبات جدیدی از کرانتس و کیم که در سال 2003 برای قضیه ونگ -روزه با استفاده از حلقه توابع تمامریخت ارائه شده است را می آوریم دامنه هایی غیر از گوی یکه از قبیل دامنه های رینهارت و دامنه های مدور غیررینهارت و بسقرص را نیز بررسی و کارهای این زمینه را درک و ارائه می کنیم. در این میان نیز نگاهی گذرا به گروههای لی داریم. توجه داشته باشیم که رابطه بین گروه لی وخمینه های مختلط منحصر به دامنه و خمینه های مختلط نیست بلکه به فضاهای مختلط نیز توسعه می یابد هر چند که ما وارد بحث آن نخواهیم شد.