در پایان نامه حاضر به شرح خواص پریودیکی و تبدیلات مدولار توابع اتا و تتا پرداخته و در ادامه استخراج خواص پریودیکی باز توابع توابع اپل مرتبه بالاتر راارائه کرده ایم.همانطور که دیده می شوددرروابط مربوط به خواص شبه پریودیکی باز توابع اپل ،جملات تصحیحی از نوع توابع تتا می باشند. سپس به مطالعه مبحث ادامه تحلیلی پرداخته ایم و نشان داده ایم که رشته های توانی را می توان یه حوزه های فراتر از حوزه تعریفشان گسترش داد. و برای این کار می توان از سری تیلور ،تابع گاما و تابع بتا استفاده کرد و در نهایت انتگرال گیری روی مولد های چنبره که یک ابزار مفید در شناخت بیشتر توابع اپل است را مورد بررسی قرار داده ایم