مدل سازی اکثر مسایل مقدار اولیه ناشی از پدیده های فیزیکی، فرآیندهای شیمیایی و مطالعات مهندسی منجر به معادلات دیفرانسیل عادی و یا پاره ای با شرط اولیه می شوند.این معادلات اغلب بسیار پیچیده هستند و در کل نمی توان آنها را به صورت تحلیلی حل کرد. بنابراین ارایه یک روش عددی مناسب برای تقریب جواب و کنترل دقت این تقریب از اهمیت قابل توجهی برخوردار است. روشهای طیفی توسیعی از روش مانده های وزنی هستند که برای حل odes و pdes روی دامنه های منظم به کار می روند. اساس این روشها توابع پایه و توابع وزن است. توابع پایه بینهایت بار مشتق پذیرند. چندجمله ایهای لاگر و لژاندر مثالی از توابع پایه هستند. این روشها بنا به انتخاب توابع پایه و وزن به روشهای گالرکین، تاو و هم مکانی تقسیم بندی می شوند. هدف اصلی در این پایان نامه این است که با استفاده از روش طیفی هم مکانی بر پایه درون یاب گاوس-لاگر بتوان انواع مسایل مقدار اولیه را حل نمود. ساختار این پایان نامه به شرح زیر است. در فصل اول به معرفی روشهای طیفی پرداخته و ویژگی های چندجمله ای های لاگر را بیان میکنیم. در فصل دوم روش طیفی لاگر را برای حل معادلات دیفرانسیل عادی با شرط اولیه به کار می بریم و برآورد خطا را برای آن انجام خواهیم داد. سپس به منظور بهبود خطا روش تصفیه را بیان خواهیم کرد. در فصل سوم به بررسی معادلات دیفرانسیل سرسخت، معادلات همیلتونی و معادلات انتگرال ولترا خواهیم پرداخت و پیاده سازی روش هم مکانی لاگر را بیان می کنیم. در بخش آخر نیز با کمک چندجمله ایهای لژاندر، کاربرد روش هم مکانی را در حل pdes با شرایط اولیه-مرزی بررسی خواهیم کرد.