عمل ‎$‎ . ‎$‎ درنیم گروه گسسته دلخواه ‎$ (s,.) $‎ قابل توسیع به ‎$ eta s $‎- فشرده سازی استون-چخ ‎$ s $‎- است. ‎$ (eta s,.) $‎ یک نیم گروه راست توپولوژیک است و ‎$ s $‎ در مرکز توپولوژی قرار گیرد.(یعنی برای هر ‎$ p in eta s $‎، تابع ‎$ ho_p‎: ‎eta s ightarrow eta s $‎ با ضابطه ‎$ ho_p(q) =q.p $‎ و برای هر ‎$ x in s $‎، تابع ‎$ lambda_x‎: ‎eta s ightarrow eta s $‎ با ضابطه ‎$ lambda_x =x.p $‎ پیوسته است) در نظریه رمزی این فضاها کاربردهای فراوانی دارد. برای آشنایی و بعضی از کاربردهای ترکیباتی نیم گروه ‎$ (eta s,.) $‎ به ‎cite{10}‎ مراجعه نمایید. اگر ‎$ s $‎ گسسته نباشد، چنین توسیعی امکان پذیر نیست. در بخش یک از فصل دوم، حالت های ناخوشایندی را که برای هر زیر نیم گروه چگال در ‎$ ([0,infty],+) $‎ به وجود می آید، بررسی می کنیم. در این پایان نامه به طور ویژه نیم گروه ‎$ ((0,1),.) $‎ را بررسی کرده و فرض می کنیم: ‎ ‎0^+= igcap _{varepsilon >0} cl _{eta (0,1)_d} (0‎, ‎varepsilon)‎. ‎ در این صورت ‎$ 0^‎+ ‎$‎ ایده آلی دوطرفه از ‎$ (eta (0,1)_d,.) $‎ است. بنابراین شامل ایده آل مینیمال است. این حقیقت جبری ساده منجر به نتایجی می شود. اطلاعات زیادی در مورد ایده آل مینیمال ‎$ (eta s,.) $‎ که ‎$ s $‎ نیم گروه گسسته دلخواه باشد، به دست می آید که این حقایق به طور معمول برای ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,.) $‎، چون مشابه ایده آل مینیمال ‎$ (eta (0,1)_d,.) $‎ است، نیز به کار برده می شود. به عنوان مثال طبق نتیجه ‎4-6 cite{8}‎، بستار ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,.) $‎، ایده آلی از ‎$ (0^+,.) $‎ می باشد و این نتیجه می دهد ‎$ 0^‎+ ‎$‎ زیر نیم گروه ‎$ (eta mathbb{r}_d,+) $‎ است، اما ایده آلی از آن نیست. بنابراین از نتایج به دست آمده در مورد نیم گروه های گسسته، اطلاعاتی راجع به ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,+) $‎ به دست نمی آید. در بخش دوم از فصل دوم، اعضای ایده آل مینیمال ‎$ (0^+,+) $‎ و بستارش معرفی می گردند. همچنین به معرفی زیر مجموعه هایی از ‎$ mathbb{r} $‎ که خودتوان های ‎$ (0^+,+) $‎، در بستارشان می باشند، می پردازیم. مجموعه های مرکـزی (مجموعه هایی که خودتوان هایش در اشتراک بستارش با ایده آل مینیمال می باشند)اهمیت ویژه ای در کاربردهای ترکیباتی دارد. در فصل سوم، مجموعه های مرکزی نزدیک به صفر مورد بررسی قرار می گیرد و در فصل چهارم، نتایج ترکیباتی از آن ارائه می گردد. برای بیشتر نتایجی که به دست می آید، نیازی به کل ‎$ (mathbb{r}‎, +) ‎$‎ نداریم. بنابراین این نتایج را برای زیرنیم گروهی از ‎$ (mathbb{r}‎, +) ‎$‎ که در ‎$ (0,infty) $‎ چگال است، به کار می بریم.