فرض کنیم a یک ایده آل و m یک r- مدول متناهی مولد از حلقه جابجایی و نوتری r باشد. در سراسر این پایان نامه درباره رفتار دو مفهوم بعد متناهی مدول m نسبت به ایده آل a یعنی f_a (m) و مفهوم دوگانش یعنی بعد آرتینی مدول m نسبت به ایده آل a و یا همان q_a (m) بحث می کنیم. اگر (r,m) یک حلقه موضعی و r?f_a (m) کمتر از f_a^m (m) ( بعد m- متناهی مدول m وابسته به ایده آل a ) باشد، ثابت می کنیم که h_a^r (m) آرتینی نمی باشد و در نتیجه f-depth(a,m) نیز نمی تواند بیشتر از f_a (m) باشد. همچنین نشان می دهیم اگر m بعد متناهی داشته باشد و به ازای هر i<t ( t یک عدد صحیح مثبت می باشد ) h_a^i (m) آرتینی باشد، آنگاه (h_a^t (m))/(?ah?_a^t (m) ) نیز آرتینی می باشد و بلافاصله نتیجه می گیریم که اگر q?q_a (m)>? ، آنگاه h_a^q (m) متناهی مولد نمی باشد و در نتیجه f_a (m)?q_a (m). این پایان نامه بر اساس مقاله [3] تهیه و تدوین گردیده است.