پژوهش درباره متمم یک گره در ‎$mathbb{r}^3$‎ یا ‎$s^3$‎ از ابتدای پیدایش نظریه گره ها مورد توجه بوده است. ثابت شده است که هر منیفلد سه بعدی، جهت پذیر بسته و همبند از تشریح دن نابدیهی حول یک پیوند در ‎$s^3$‎ به دست می آید اینجاست که ارتباط اساسی بین گره ها ‎(پیوندها)‎ و منیفلدهای سه بعدی مشخص می شود. نخستین بار تیتز وجود گره نابدیهی را از طریق محاسبه گروه بنیادی متمم گره سه پره نشان داد. او حدس زد که دو نوع از گره ها برابرند اگر و فقط اگر متمم های آن ها با هم هومئومورف باشند. در سال ‎$1988$‎ گوردن و لوکه این حدس را ثابت کردند. در این پایان نامه ویژگی هایی از متمم های گرهی به عنوان منیفلدهای سه بعدی بررسی شده است. پژوهش ها در سالهای اخیر به بررسی متمم گره در ‎$mathbb{r}^3$‎ یا ‎$s^3$‎ محدود نمی شود و متمم گره را دریک منیفلد سه بعدی نیز مورد بررسی قرار می دهد‎.‎ فصل اول به مقدماتی از توپولوژی جبری (گروه بنیادی، گروه همولوژی،...)، هندسه دیفرانسیل (جهت پذیری و انحنا) و نظریه گره ها (گره، پیوند و تافته‎...)‎ اختصاص داده شده است‎.‎ فصل دوم با تعریف خاصیت ‎$p$‎ برای گره، قضیه ای مربوط به اثبات حدس تیتز را ثابت می کنیم. همچنین خانواده نامتناهی از زوج های ‎$(m,k)$‎ که ‎$m$‎ فضای عدسی و ‎$k$‎ گره غیر هذلولوی در ‎$m$‎ می باشد را معرفی می کنیم و ثابت خواهیم کرد که این گره ها بوسیله متمم هایشان در همین فضای لنزی مشخص می شوند‎.‎ در فصل سوم مطالبی را در مورد ساختار های هندسی منیفلد ها، اوربیفلد ها، پوشش شاخه ای و هم شاخصی گره ها بیان کرده و با استفاده از آنها به بررسی چگونگی دسته بندی منیفلد های هذلولوی با استفاده از متمم گره های هذلولوی می پردازیم‎.‎ نهایتا در فصل چهارم سایر رویکرد های مرتبط با فصل های دوم و سوم که در این پایان نامه مجال بررسی آنها فراهم نشد اما به جهت ارتباط با موضوع می تواند زمینه ساز تحقیقات در این مبحث باشد را بیان می کنیم.