یک نمایش شناخته شده برای گروه های وایل متناهی و آفین، نمایش مزدوجی است. اخیراً ثابت شده که این نمایش برای زیر کلاس های خاصی از گروه های وایل آفین توسیعی نیز وجود دارد. در این پایان نامه، شرایط لازم و کافی برای آن که یک گروه وایل آفین توسیعی از نوع1 a دارای نمایش مزدوجی باشد، را به دست می آوریم. به دنبال آن نشان می دهیم که گروه های وایل آفین توسیعی وجود دارند که نمایش مزدوجی ندارند. سپس باتوجه به این که گروه های وایل آفین توسیعی زیرکلاسی از گروه های وایل توسیع یافته توسط یک گروه آبلی هستند، شرط لازم و کافی برای آن که یک گروه وایل از نوع 1 a توسیع یافته توسط یک گروه آبلی، نمایش مزدوجی داشته باشد را به دست می آوریم که این یک محک جدید و کارآمد جهت تعیین نمایش مزدوجی برای گروه های وایل آفین توسیعی نیز هست.