یک رده ی جالب از عملگرها که دارای کاربردهای متعددی در فرآیند پردازش سیگنال هاست، رده ی عملگرهای هیلبرت-اشمیت است که در این پایان نامه به معرفی و دسته بندی این عملگرها با قاب ها می پردازیم و پس از توصیف نمایش ماتریسی عملگرها با استفاده از دنباله های بسل، قاب ها و پایه های ریس، نشان می دهیم که نمایش ماتریسی عملگرهای هیلبرت-اشمیت دقیقا ماتریس های فروبنیوس اند. سپس الگوریتمی برای بهترین تقریب یک ماتریس به وسیله ی عملگر مضروبٌ فیه قاب (در توپولوژی هیلبرت-اشمیت) ارایه می دهیم. این تقریب در بهبود شرایط عددی قاب، مثلا با کاهش نسبت کران های قاب، نقش اساسی دارد که منجر به معرفی مفهوم قاب های وزن دار شده است. همچنین اخیراً به منظور بهبود کارآیی الگوریتم های تکرار شونده برای پیدا کردن وارون عملگر قاب مفهوم قاب های کنترل شده معرفی شده است. در ادامه به معرفی این دو مفهوم و بررسی ارتباط آنها با یکدیگر و با قاب های استاندارد می پردازیم. نشان می دهیم که قاب های کنترل شده با قاب های استاندارد هم ارزند درحالی که قاب های کنترل شده به دلیل داشتن پیش شرطی دارای یک مزیت عددی خیلی خوب هستند و حالت خاصّی از وزن های نیم-نرمال را درنظر می گیریم که برای آنها مفهوم قاب های وزن دار و قاب های کلاسیک معادلند. همچنین ارتباط قاب های وزن دار و عملگر مضروبٌ فیه قاب را بررسی می کنیم. در پایان قاب های وزن دار را از نظر عددی مورد تجزیه و تحلیل قرار می دهیم. ابتدا سه وزن را که احتمال می رود نسبت کران های قاب را کاهش دهند بررسی می کنیم سپس به بررسی وضعیت عددی قاب های گابور وزن دار و میزان خطای تقریب قاب دوگان کانونی این قاب ها با قاب دوگان وزن دار شده با وارون وزن ها می پردازیم.