تجزیه چندجمله ای ها یکی از ابزارهای قوی در هندسه ی جبری و جبر محاسباتی است. کاربردهای این مفهوم در ریاضیات و صنعت (به ویزه در زمینه ی حل دستگاه معادلات چندجمله ای) اهمیت مطالعه ی این موضوع را بیشتر می کند. ارائه ی روشهایی برای محاسبه تجزیه یک چندجمله ای روی حلقه چندجمله ای ها و میدان ها همواره مورد توجه ریاضیدانان بوده است. در این پایان نامه روش برلکمپ را برای تجزیه یک چندجمله ای تک متغیره روی میدانهای متناهی ارائه می کنیم. این الگوریتم، اولین الگوریتم کاربردی در زمینه تجزیه چندجمله ای ها روی میدانهای متناهی است که ئایه ی بسیاری از الگوریتم هایی است که تاکنون برای تجزیه چندجملهایها ارائه شئه است. سئس با استفاده از این روش به محاسبه تجزیه ی چندجمله ایهای تک متغیره و چندمتغیره با ضرایب صحیح و همچنین با ضرایب در توسیع متناهی از یک میدان میپردازیم. در پایان کاربرد تجزیه چندجمله ایها در تجزیه اولیه ایده الها را مطالعه می کنیم. برای این منظور روش مونیکو و گائو و همکارانش را برای محاسبه ی تجزیه اولیه یک ایده ال چندجمله ای صفر بعدی روی میدانهای به ترتیب نامتناهی و متناهی ارائه می کنیم.