یک فضای باناخ را در نظر می گیریم که دارای توپولوژی خطی باشد و یک دسته از نیم نرم که در شرایط خاصی صدق می کند. یک نرم معادل را روی فضای مزبور تعریف می کنیم چنان که یک زیرمجموعه بسته کراندار محدب از آن فضا باشد آن گاه هر نگاشت غیر انبساطی دارای نقطه ثابت است در نتیجه ثابت می کنیم که اگر یک گروه جدایی پذیر فشرده داشته باشیم جبر فوریه -اشتیلتیس را می توان تجدید نرم شود تا در خاصیت نقطه ثابت صدق کند. به علاوه یک نرم جدید در این فضا دارای خاصیت نقطه ثابت تخصیص می دهیم، کلاس های جدید از فضاهای باناخ غیر بازتابی دارای خاصیت نقطه ثابت می یابیم و یک شرط کافی را چنان اختصاص می دهیم که یک زیر فضای غیر بازتابی از آن را بتوان تجدید نرم کرد تا دارای خاصیت نقطه ثابت شود.