از زمانی که «چَنگ» قضیه ی فازی را در توپولوژی تعریف کرد، مولفان زیادی در مورد صورت های مختلف توپولوژی فازی بحث کرده اند. در توپولوژی ای که «چَنگ» ارائه کرد، مجموعه های باز فازی بودند، اما توپولوژی ای که شامل این مجموعه های باز بود یک زیر مجموعه ی قاطع از i-مجموعه توان بود. از طرفی دیگر فازی سازی روی بازها اولین بار توسط «هوهل» در سال 1980 انجام شد و بعدها به l-زیر مجموعه هایی از توسط «کوبیاک» و «سوستِک» در سال 1985 انجامید. در سال 1991، «یینگ» توپولوژی «هوهِل» را مورد مطالعه قرار داد و آن را توپولوژی فازی شده نامید. با توجه به این که ساختار همسایگی دیگر مناسب i-توپولوژی نبود، «پو» و «لیو» قضیه ی کلاسیک دستگاه همسایگی را در هم شکستند و روشی قوی تر به نام دستگاه همسایگی شبه منطبق را بنا نهادند. «ژِنگ» و «خیو» ساختار همسایگی را در توپولوژی فازی شده معرفی کردند و «فَنگ» با کامل کردن آن، دستگاه همسایگیِ شبه منطبق i-فازی را در فضای توپولوژیک i-فازی ارائه کرد و ابزار کاربردی ای برای مطالعه توپولوژی های i-فازی ایجاد کرد. جداسازی اساسی ترین قسمت توپولوژی فازی است که مطالعات زیادی روی آن انجام گرفته است. در این چارچوب توپولوژی های فازی شده «شن» و «خِدر» برخی از اصول جداسازی را معرفی کردند.البته بحث آن ها روی نقاط قاطع و نه نقاط فازی است. هدف این مقاله مطالعه اصول جداسازی روی نقاط فازی با نقاط تکیه گاه متفاوت در فضاهای توپولوژیک i-فازی است.