در این پایان نامه پس از معرفی مقدمات لازم به بررسی توابع بر حسب متغیر های مختلط دوگانه می پردازیم و تلاش می کنیم مفاهیم مربوط به ساختارهای ریخت های همساز از یک فضای اقلیدسی سه بعدی یا یک فضای شبه اقلیدسی سه بعدی به رویه های ریمانی یا لورنتزی را یکسان نماییم. این کار را با به کار گرفتن مفهوم ریخت همساز مختلط بین خمینه های مختلط ریمانی انجام می دهیم و نشان داده می شود که این ریخت ها چگونه توسط توابع هولومورفیک مختلط دوگانه روی همدامنه ی با بعد مختلط دوگانه ی یک مطرح می شوند. با به کار بردن برش های حقیقی مفهوم فشره سازی برای سه حالت حقیقی ممکن بهبود بخشیده می شود. در این مسیر به بیان بعضی از فشرده سازی های جالب از خمینه های مختلط ریمانی با در نظر گرفتن آنها به عنوان خمینه های مختلط دوگانه پرداخته می شود. در این مبحث مثال هایی از ریخت های همساز به طور سراسری تعریف شده به غیر از مصور قائم و ریخت های همسازی با تارهای تباهیده بیان می شود و نشان داده می شود که چنین ریخت های همسازی متناظر با جواب های پوچ با مقدار حقیقی از معادله ی موج هستند.