لزوم بررسی هندسه کلاف مماس tm، در مسئله های گوناگون مانند: معادلات دیفرانسیل، حساب تغییرات، مکانیک و فیزیک نظری خود را نمایان می سازد. خمینه هموار tmدارای ساختارهای هندسی ویژه ای همچون جهت پذیری، میدان برداری لیوویل، توزیع عمودی vtm و میدان تانسوری نوع (1,1) که آن را درون ریختی عمودی نامند. با توجه به ساختارهای طبیعی روی tm، انتظار می رود ساختارهای هندسی دیگر مثل: هموستارها، دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم، ساختار متریک و ساختار همتافته بدون برقراری نوعی شرط-های سازگاری با ساختارهای طبیعی روی آن قابل بررسی نباشد. از سویی، مطالعه این ساختارهای هندسی روی tm، با روش هایی که از هندسه خمینه پایه m داریم، امکان پذیر نیست. اینجاست که مجبوریم مفهوم های جدیدی را که مخصوص هندسه tm است، معرفی کنیم و ویژگی های آن را بررسی نماییم که عبارتست از: هموستار ناخطی و شبه اسپری. در مطالعه هندسه tm، مفهوم هموستار ناخطی و مفهوم وابسته به آن یعنی زیر کلاف افقی نقش مهمی ایفا می کند. هموستار ناخطی موجب می شود در هر نقطه u?tm بتوانیم فضای مماس t_u tm را به صورت جمع مستقیم دو زیر فضای افقی و عمودی بنویسیم. به کمک هموستار ناخطی و یک شبه اسپری s می توان یک مشتق گیری جدید تعریف کرد که آن را مشتق هموردای دینامیکی خواهیم نامید. با این مشتق گیری جدید مفهوم سازگاری متریکی را برای هموستار ناخطی تعریف می کنیم که در واقع گسترش طبیعی از مفهوم سازگاری متریکی یک هموستار خطی در هندسه ریمانی است. با بهره بردن از عملگر مشتق هموردای دینامیکی بدست آمده از یک هموستار ناخطی شرط سازگاری متریکی و شرط سازگاری با یک ساختار همتافته تعریف شود. در حالت خاص نشان داده می شود هموستار ناخطی کانونیک فضای لاگرانژ تنها هموستار ناخطی است که با متریک لاگرانژی و ساختار همتافته فضای لاگرانژی سازگار است. بررسی هندسه یک سیستم دینامیکی در مطالعه کاربردهای ریاضی بسیار مهم است. سیستم دینامیکی یک سیستم مکانیکی ناپایستار یک شبه اسپری است که به آن شبه اسپری تکامل گویند. این شبه اسپری به کمک ساختار همتافته فضای لاگرانژ، نگاشت انرژی فضای لاگرانژ و میدان نیروی خارجی یکتا بدست می آید. از پایان نامه موضوع های پایین بررسی می شود: شرط سازگاری هموستار ناخطی تکامل و شرط سازگاری ساختار همتافته فضای لاگرانژی بررسی می شود که شرط اول بخش متقارن هموستار ناخطی تکامل و شرط دوم بخش پادمتقارن هموستار ناخطی تکامل را مشخص می کند. خم های خودموازی هموستار ناخطی تکامل تعریف می شود و به مطالعه دگرگونی های نگاشت انرژی و نگاشت لاگرانژین در امتداد این خم ها می پردازیم و شرایط لازم را برای صفر شدن این دگرگونی های ارائه می کنیم. سرانجام به مطالعه سیستم مکانیکی فینسلری که حالت خاصی از یک سیستم مکانیکی ناپایستار است می پردازیم در این سیستم شرط همگن بودن نتیجه های با فرض های کمتر را داراست.