در این پایان نامه جوانب مختلف سیستمهای انعکاسی آفین را در نظر می گیریم. ابندا یک روش ترکیبیاتی و محاسباتی برای طبقه بندی سیستمهای ریشه آفین توسیع یافته از نوع کاهش یافته عرضه می کنیم. با استفاده از این روش، سیستمهای آفین توسیع یافته از نوع کاهش یافته و پوچی 4 را طبقه بندی می کنیم. سپس برای اولین بار یک نمایش برای گروه وایل و یک نمایش برای گروه وایل هذلولوی نظیر به سیستمهای انعکاسی آفین از نوع a_1 ارائه می کنیم. این نمایشها بلافاصله نشان می دهند که هر دو گروه وایل و گروه وایل هذلولوی دارای مسأله کلمه حل پذیر می باشند. این نمایشها برای گروههای وایل سیستمهای ریشه آفین توسیع یافته و گروههای وایل آفین توسیع یافته از نوع a_1 بسیار شبیه تعریف گروههای کاکستر می باشند. در پایان یک تابع طول برای گروههای وایل سیستمهای ریشه آفین تویسع یافته از نوع a_1 ارائه می دهیم. این تابع طول فقط تعداد مولدها در یک عبارت کاهش یافته ی یک عنصر را محاسبه نمی کند. نشان داده شده است که تابع طول با سیستم ریشه نظیر وابستگی قابل ملاحظه ای دارد. مقادیر این تابع یک تقسیم بندی هندسی سیستم ریشه به دست می دهند.