همانگونه که میدانیم هر سیستمی شامل ورودی و خروجی می باشد. ورودی یک سیستم یک عدد است و به تبع خروجی آن نیز یک عدد می باشد. اما به دلیل خطاهایی که در ورودی (خطاهای خارجی) یا داخل سیستم (خطاهای داخلی) رخ می دهد، نمی توان دقیقا مطمئن بود که ورودی ما همان است که انتظار داریم. بنابراین با توجه به منابع خطای احتمالی به جای یک عدد در ورودی، باید یک بازه از اعداد در نظر گرفت،در این حالت خروجی نیز به صورت یک بازه است. بنابراین ما می توانیم خروجی های احتمالی را پیش بینی کنیم و در سیستم های خود تعداد بیت های کافی را برای آن در نظر بگیریم و اینگونه از سرریز خروجی جلوگیری کنیم. در اینجا روشی برای بهبود بخشیدن به روش affine arithmetic )aa) ارائه شده، به طوریکه به کمک این روش جدید، بازه خروجی ناشی از آن نسبت به روش aa، برای توابعی با چند متغیر دقیق تر است و بیش تخمینی کمتری دارد. به کمک این روش مدار طراحی شده به تعداد بیت های کمتری نیاز دارد و بنابراین از نظر اقتصادی به صرفه تر است. از طرف دیگر می توانیم میانگین و واریانس خروجی را نیز بدست آوریم. فیلترها بخش مهمی از مدارها هستند. کوچکترین فیلتری که بقیه فیلترها با درجات بالاتر از آن بدست می آیند، فیلتر درجه دو است. فیلتر fir، فیلتری بدون فیدبک است که خروجی آن تنها ناشی از ورودی هاست، بنابراین بررسی ساده ای دارد. اما فیلتر iir، فیلتری فیدبک دار است که خروجی آن نه تنها به ورودی ها بلکه به خروجی های قبلی نیز وابسته است بنابراین در صورتی که خروجی ها به درستی تخمین زده نشوند، خطاهای آن ها به همراه خطای ورودی های جدید وارد مدار شده و خطای بزرگتری را در خروجی ایجاد می کنند بنابراین بررسی دقیق خروجی های فیلتر ضروری است. در بخشی از این پایان نامه خطای خروجی فیلتر درجه دو به دلیل خطای ورودی بدست آمده است. در واقع برای اینکار یک فیلتر درجه دو iir، به صورت یک فیلتر fir تخمین زده می شود و اینگونه ماکزیمم و مینیمم خروجی در هر مرحله بدست می آید. این روش برخلاف روش های دیگر، سریع است و خروجی های دقیقی دارد.