در سرتاسر این پایان نامه حلقه ی r جابه جایی و یکدار است. در این تحقیق به مطالعه ی زیرمدول های اول مدول تصویری می پردازیم. در حقیقت در ابتدا وجود زیرمدول های اول را در برخی حالت ها ثابت می کنیم و سپس نشان می دهیم که زیرمدول هایی با خواص معین در فرمول رادیکال صدق می کند. هم چنین توصیفی جزئی از زیرمدول یک مدول تصویری که در خاصیت اول صدق می کند ارائه می دهیم.هدف اصلی این پایان نامه اثبات تساوی برای زیرمدول n از r- مدول تصویری m می باشد. کاسلندو مور در مرجع[10] اثبات کرده اند که تساوی برای زیرمدول n از یک r-مدول متناهی شده برقرار است. هم چنین در مرجع [5] بست و اسمیت نتیجه ای مشابه را برای هر r - مدول ضربی اثبات کرده اند. مرجع اصلی این پایان نامه مقاله ی زیر است: mustafa alkan, antalya, and yücel tira?, ankara, projective modules and prime submodules.56(131)(2006) 601-611 این پایان نامه شامل 4 فصل می باشد. فصل اول آن را به تعاریف و مفاهیم مقدماتی از حلقه و مدول اختصاص داده ایم. هم چنین در این فصل تعریف رادیکال یک زیرمدول چون n از r-مدول m را مطرح می کنیم که برابر با اشتراک زیرمدول های اول m شامل n می باشد و با m-rad n نمایش داده می شود. رادیکال زیرمدول ها در سال های اخیر توسط کاسلند و مور در مرجع [10] و اسمیت در مرجع [12] مورد مطالعه قرار گرفته است. در فصل 2، در ابتدا نتایجی از قضیه ی اجتناب از ایده آل های اول برای مدول ها و کاربرد هایی از آن را بیان می داریم. در ادامه ی این فصل تعریفی از زیرمجموعه های بسته ی ضربی و زیرمجموعه های s-بسته و اشباع شده و قضایای مربوط به آن را داریم. هم چنین در این فصل شرط اینکه یک زیرمدول n از مدول m در فرمول رادیکال صدق می کند را بیان می داریم. در فصل 3، مدول های ضربی و قضایای مربوط به آن مطرح می شود. در این قسمت شرایط لازم و کافی جهت برقراری تساوی برای زیرمدول n از r-مدول ضربی m را بیان می داریم. و در فصل آخر با رادیکال زیرمدول سرو کار داریم. در این فصل هدف اصلی، ارائه شرایط لازم و کافی جهت برقراری تساوی برای زیرمدول n از r - مدول تصویری m می باشد. هم چنین برای زیرمدول n از مدول تصویری متناهی تولید شده ی m نشان می دهیم که n اول است اگر و تنها اگر (n:m) اول و r/p ،m/n -مدولی تصویری باشد. از طرفی نشان می دهیم که برای زیرمدول n از مدول m، اگر m/n تصویری باشد، آن گاه تساوی برقرار است.