زیر مجموعه های کاملا بحرانی از فضاهای اقلیدسی بسیاری از مسایل و مشکلات در فیزیک، مهندسی زیست شناسی و علوم اجتماعی را با پیدا کردن نقاط بحرانی از توابع حقیقی مقدار روی فضاهای مختلف می توان کاهش داد. اولین گروه از نقاط بحرانی که مطالعه و بررسی شده است نقاط کمینه و نقاط بیشینه بوده است. بنابراین بسیاری از فعالیتها در جبر متغیرها به بررسی چنین نقاطی اختصاص یافته است. آنچه تا کنون ارائه شده است بیان می کند که یک راهکار سازمان یافته برای ارائه چنین نقاطی وجود دارد که این روشها متغیر جهانی و روشهای توپولوژیکی نامیده می شود. این روشها شامل دو بخش روش مینی ماکس و قضیه مورس است. در این پایان نامه پس از مقدمه و تاریخچه یک فصل به تعاریف وقضایای هندسی و آنالیزی تعلق دارد. در فصل سوم پس از تعریف چند تابع حقیقی مقدار، به بررسی مجموعه های بحرانی خط اعداد حقیقی می پردازیم و ثابت می کنیم که زیر مجموعه های بسته خط محور اعداد حقیقی بحرانی هستند ولی همه ی آنها کاملا بحرانی نیستند. سپس تعریف بحرانی و کاملا بحرانی را به فضاهای اقلیدسی با بعد بالاتر تعمیم می دهیم. در فصل چهارم نیز مجموعه های بحرانی روی خمینه های یک بعدی را بررسی نموده سپس مجموعه های بحرانی برداری را تعریف می کنیم. در پایان نیز مجموعه های بحرانی کره و استوانه بسته را به عنوان دو مثال ارائه خواهیم کرد.

در این پایان نامه پس از معرفی مقدمات لازم به بررسی توابع بر حسب متغیر های مختلط دوگانه می پردازیم و تلاش می کنیم مفاهیم مربوط به ساختارهای ریخت های همساز از یک فضای اقلیدسی سه بعدی یا یک فضای شبه اقلیدسی سه بعدی به رویه های ریمانی یا لورنتزی را یکسان نماییم. این کار را با به کار گرفتن مفهوم ریخت همساز مختلط بین خمینه های مختلط ریمانی انجام می دهیم و نشان داده می شود که این ریخت ها چگونه توسط توابع هولومورفیک مختلط دوگانه روی همدامنه ی با بعد مختلط دوگانه ی یک مطرح می شوند. با به کار بردن برش های حقیقی مفهوم فشره سازی برای سه حالت حقیقی ممکن بهبود بخشیده می شود. در این مسیر به بیان بعضی از فشرده سازی های جالب از خمینه های مختلط ریمانی با در نظر گرفتن آنها به عنوان خمینه های مختلط دوگانه پرداخته می شود. در این مبحث مثال هایی از ریخت های همساز به طور سراسری تعریف شده به غیر از مصور قائم و ریخت های همسازی با تارهای تباهیده بیان می شود و نشان داده می شود که چنین ریخت های همسازی متناظر با جواب های پوچ با مقدار حقیقی از معادله ی موج هستند.