ابتدا روشی برای محاسبه ی گروه گالوایی چندجمله ایهای درجه ی سوم و چهارم تحویل ناپذیر و تفکیک پذیر ، در میدان هایی که مشخصه ی آن ها ‎$2$‎ نباشند ، ارائه می دهیم. سپس نشان می دهیم که تعداد نامتناهی میدان درجه ی ‎$4$‎ با یک پایه ی صحیح توانی وجود دارد. همین طور اگر ‎$p$‎ یک عدد اول فرد و ‎$q=p^{m}$‎ و ‎$zeta$‎ ، ‎$‎ - ‎q $‎ امین ریشه ی واحد و ‎$o_{q}$‎ حلقه ی اعداد صحیح در میدان دایره بری ‎$mathbb{q}(zeta)$‎ باشد، نشان می دهیم اگر ‎$ o_{q}=mathbb{z}[alpha]$‎ و ‎$gcd(h_{q}^{+},dfrac{p(p-1)}{2})=1$‎ که ‎$ h_{q}^{+}$‎ عدد رده ای ‎$ mathbb{q}(zeta+zeta^{-1})$‎ باشد، آنگاه انتقال صحیحی از ‎$alpha$‎ ، روی دایره ی واحد یا خط ‎$ re(z)=dfrac{1}{2}$‎ در صفحه ی مختلط قرار دارد. از آنجایی که ‎$ o_{q}=mathbb{z}[alpha]$‎ برای ‎$ alpha=zeta $‎ یا ‎$ alpha=dfrac{1}{1+zeta}$‎ ، امکان پذیر است ، حدس زده می شود که این دو عنصر و مزدوج گالوایی شان تنها مولدهای ‎$o_{q}$‎ هستند و نشان می دهیم که این مطلب برای ‎$q=25$‎ برقرار است.