ضیه بروئر که آن را با عنوان قضیه بروئرنوع ‎ aمعرفی می کنیم و نشان می دهد چگونه یک مقدار ویژه ی خاص از یک ماتریس بدون تغییر مقادیر ویژه ی دیگر تغییر می کند، نقش مهمی در مطالعه مسئله مقدار ویژه ی معکوس غیرمنفی دارد. قضیه بروئر نوع ‎$ a $‎ نه تنها نقش اساسی در به دست آوردن شرایط کافی وجود جواب برای مسئله دارد، بلکه در محاسبه ی جواب نیز نقش مهمی ایفا می کند‎.‎ در این پایان نامه مسئله ی مقدار ویژه ی معکوس غیرمنفی را در نظر می گیریم وقتی که?={?_1,?_2,…,?_n } ‎ مجموعه ای از اعداد حقیقی داده شده است. ابتدا با استفاده از قضیه بروئر نوع ‎ a‎و مزایای fft الگوریتم سریع و پایداری نتیجه می گیریم که ماتریس حقیقی متقارن غیرمنفی ایجاد کند که طیف ‎? را تحقق بخشد. سپس تعمیمی از این قضیه را بیان می کنیم و با استفاده از این تعمیم معیار قابل تحقق جدیدی برای مسئله مقدار ویژه معکوس غیرمنفی ارائه می کنیم. سپس به عنوان یک کاربرد این معیار قابل تحقق، مسئله مقدارویژه معکوس غیرمنفی را برای یک ماتریس 5×5‎ حل می کنیم.