در این پایان نامه، ابتدا به بیان و بررسی نتایج نقطه ثابت مشترک برای نگاشت های انقباضی ضعیف ( به طور ضعیف انقباضی ) می پردازیم. سپس، نتایج تعمیمی را که اخیرا توسط چودهاری و متیا به دست آمده است بررسی می کنیم. در ادامه، نقاط برخورد و ثابت مشترک را برای یک جفت از نگاشت ها در فضاهای متریک مخروطی مشخص می کنیم. در انتها، فضای متریک مخروطی را تعریف کرده و به بیان و اثبات قضایای مربوط برای نگاشت های انقباضی ضعیف نوع اول و دوم می پردازیم.

قضایا نقطه ثابت اولین بار توسط هوانگ وژانگ در سال 2007 میلادی معرفی گردیده است وقضایا نقطه ثابت در این فضاها توسط خودشان برای اولین بارمورد بررسی قرار کرفت. این پژوهش ، توسیع کلی تری از فضاهای متریک به نام فضاهای متریک توپولوژیک برداری -مخروطی و مفهوم c-فاصله در یک چنین فضایی چون x معرفی شده. قضایای نقطه ثابت ونگاشت های روی آن مورد مطالعه قرار گرفته است .بویژه خواهیم دیدکه برخی حقایق شناخته شده در مبحث نقطه ثابت -مثلا قضایا نقطه ثابت از نوع کنان-حالت های خاصی از نتایج معرفی شده در این جا هستند. در انتها نقطه ثابت های مشترک دونگاشت تعریف شده روی یک فضای متریک توپولوژِیک برداری -مخروطی بطور جزئی مطالعه شده اند

در این رساله -توسیع برند و نیم گروه های توپولوژیک وارون اولیه فشرده ی شمارا ی متناوباً توپولوژیکی مورد بررسی قرار می گیرد و نشان داده می شود که تحت شرایط مناسب نگاشت وارون پیوسته است . همچنین نشان داده می شود که نیم گروه های توپولوژیک وارون اولیه فشرده ی شمارا ی متناوباً توپولوژیکی در کلاس های بسته با حاصلجمع مستقیم متعامد ایزومورف است که در آن ، -توسیع برند گروه توپولوژیکی فشرده شمارای است . در این راستا نیم گروه های دو دوری و همچنین نیم گروه های توپولوژیک وارون اولیه نیز مورد بررسی قرار می گیرد.

فریم های پیوندی یک مبحث نو ظهور از نظریه فریم ها با کاربرد هایی در مفهوم توزیع و کد گزاری اطلاعات می باشند. با این حال اطلاعات کمی راجع به وجود فریم های پیوندی بی رخنه به دست آمده است. در نظریه سنتی فریم ها یک روش نشان دادن فریم های بی رخنه با نرم واحد, مشخص کردن آن ها به وسیله تابعک های انرژی و یا به طور مشخص تر تابع پتانسیل فریم می باشد. ما موضوع تابع پتانسیل فریم را به فریم های پیوندی گسترش می دهیم.در این پایان نامه تابع پتانسیل فریم پیوندی را تعریف می کنیم و نشان می دهیم وجود مینیمم های آن معادل وجود مینیمم های تابع پتانسیل فریم سنتی روی یک دامنه خاص می باشد. ما مساله مینیمم یابی تابع پتانسیل فریم پیوندی را با جزئیات مورد مطالعه قرار می دهیم. نشان می دهیم اگر زیر فضاهای یک فریم پیوندی از نظر تعداد بزرگ ولی از نظر ابعاد نسبت به بعد فضای هیلبرت زمینه کوچک باشند فریم پیوندی با یک مینیمم از تابع پتانسیل مربوط به آن وجود دارد.