ما در این پایان نامه مفهوم ضرب خارجی روی $ mathbb{r}^{4} $ را تعریف خواهیم نمود و به کمک این ضرب یک ضرب شرکت پذیر روی $ mathbb{r}^{5} $ تعریف می نماییم که $ mathbb{r}^{5} $ با جمع معمولی و ضرب اسکالر و این ضرب شرکت پذیر یک جبر شرکت پذیر خواهد بود و با استفاده از این جبر نمایشی از گروه های لی کواترنیون ها و $ su(2) $ را بدست می آوریم. همچنین ما روی فضای $ mathbb{r}^{6} $ یک ضرب خارجی تعریف می نماییم و به کمک این ضرب خارجی می توان کروشه هایی تعریف نمود که $ mathbb{r}^{6} $ با این کروشه ها با جبر های $ so(4) $ و $ so(2,2) $ و $ so(3,1) $ یکریخت خواهد بود در ادامه نمایش هایی از گروه های لی $ spin(4),spin(2,2) $ و $ spin(3,1) $ بدست می اوریم. نهایتا یک زیر خمینه ی چهار بعدی از $ mathbb{r}^{6} $ را معرفی خواهیم نمود که مجهز به یک ساختار تقریبا مختلط است.