نام پژوهشگر: فرید بزرگنیا
مینا رییسی احمد شیرزادی
به دست آوردن جواب های تحلیلی برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی، بسیار مشکل و اکثر مواقع ناممکن است. از این رو دانشمندان و مهندسان به دنبال ارائه روش های کارای عددی برای به دست آوردن جواب های تقریبی این معادلات هستند. از مهم ترین روش های عددی موجود می توان به روش های عناصر متناهی و تفاضلات متناهی اشاره کرد که از معایب این روش ها هزینه بالای شبکه بندی و شبکه بندی مجدد می باشد. برای غلبه بر این مشکلات، روش های بدون شبکه معرفی گردیدند. روش های بدون شبکه، از یک مجموعه نقاطی که در دامنه مسأله و مرزهای آن پخش شده اند، برای نمایش دامنه و مرزهای آن (و نه برای گسسته سازی) استفاده می کنند. این روش ها از فرم قوی، فرم ضعیف سراسری، فرم ضعیف محلی و یا ترکیبی از این فرم ها برای گسسته سازی مسأله استفاده می کنند. در این پایان نامه، روش های بدون شبکه در حالت کلی بررسی خواهند شد. ساختار کلی آن ها ارائه می شود. همگرایی این روش ها در حالت کلی به صورت محض بررسی خواهد شد. برای ورود بیشتر به جزئیات، در فصل آخر، همگرایی روش بدون شبکه محلی پتروف-گالرکین با توابع پایه ای شعاعی بررسی می شود که نتایج عددی حاصله تئوری را تأیید خواهد کرد.
فرشته بحرانی علیرضا عطایی
در این پایان نامه، روش ها و مدل های مختلف پردازش و ترمیم تصاویر به کمک معادلات با مشتقات جزئی مورد بررسی قرار گرفته اند. دلایل و انگیزه انتخاب معادلات با مشتقات جزئی در پردازش تصویر و همچنین جنبه های تئوری و خواص ریاضی این معادلات بحث شده اند. اثبات همگرایی برخی روش ها نشان داده شده و همچنین چگونگی به کارگیری و کارایی روش ها همراه با مثال های عددی ارائه شده است. در فصل اول به معرفی مفاهیم مورد استفاده در پردازش تصویر از جمله نمایش دیجیتال تصاویر، معرفی نویز و معادلات با مشتقات جزئی و روش های عددی می پردازیم. فصل دوم به بررسی معادله گرما و کاربرد آن در رفع نویز از تصویر و سیگنال اختصاص یافته است. معادله انتشار غیرخطی پرون-مالیک و مزایا و کارایی این روش نسبت به معادله گرما به طور مفصل مورد بحث قرار گرفته است. این روش ها الگویی برای یک گروه وسیع از کاربردها را ارائه می دهند. ما در فصل سوم تغییرات کلی و کاربرد آن در ترمیم تصویر را مطالعه می کنیم و اثبات همگرایی روش تکراری مبتنی بر تغییرات کراندار نشان داده شده است. فصل آخر به معرفی روش منحنی های تراز و حل عددی معادله همیلتون-ژاکوبی اختصاص یافته است.