فرض کنید g یک گروه آبلی موضعاً فشرده با اندازه هار و xیک فضای باناخ باشد. همچنین فرض کنید l^1 (g,x) فضای باناخ از توابع انتگرال پذیر بوخنر x - مقدار بر gباشد. ثابت خواهیم کرد که فضای عملگرهای پایا ، خطی و کراندار ازl^1 (g,x) را می توان با l(x,m(g,x))یکی در نظر گرفت، که در آن l(x,m(g,x) ) فضای عملگرهای خطی و کراندار ازx به توی m(g,x) است ( m(g,x) فضای اندازه های بورل منظمx - مقدار کراندار بر g می باشد). توجه داریم اگر a یک جبر باناخ نیمه ساده جابجایی، با همانی یکه باشد، در این صورتl^1 (g,a) نیز یک جبر باناخ خواهد بود. نشان خواهیم داد که فضای مضارب ،l^1 (g,a) یکریخت ایزومتریکی با m(g,a)است. همچنین نشان می دهیم که اگر بعد a بزرگتر از 1 باشد آنگاه عملگرهای پایا ازl^1 (g,a) وجود دارد که مضرب آن نیستند. به طور کلی اگر فرض کنید x یک a - مدول باناخ باشد، مضارب از یک جبر توابع a - مقدار به توی یک فضای توابع x - مقدار را مورد مطالعه و روابط یکریختی ایزومتریکی زیر تحت شرایط خاص مورد بررسی قرار می گیرد. ?hom ?_(l^1 (g,a) ) (l^1 (g,a),l^p (g,x) )?l^p (g,x) , 1<p<? ?hom ?_(l^1 (g,a) ) (l^1 (g,a),c_0 (g,x) )?c_0 (g,x) ?hom ?_(l^1 (g,a) ) (l^1 (g,a),l^1 (g,x) )?m(g,x) در نهایت فضای نرمدارa_p^q (g,a) را تعریف کرده و برخی از ویژگی های این فضا را ثابت می کنیم. به ویژه نشان می دهیم که فضایl^p (g,a) ?? _(l^1 (g,a) ) l^q (g,a) یکریخت ایزومتریکی باa_p^q (g,a) است. در انتها ویژگی p_p^q را تعریف کرده و نشان می-دهیم اگر g دارای ویژگیp_p^q باشد، آنگاه فضای مضارب ازl^p (g,a) بهl^(q^ ) (g,a^* ) ، یکریخت ایزومتریکی با دوگان فضای a_p^q (g,a) خواهد بود.