فرض کنیم a یک – جبر باناخ و a دوگان دوم a مجهز به ضرب آرنز اول باشد. در این پایان نامه به بررسی وجود برگشت روی a حاصل از توسیع برگشت روی a می پردازیم خصوصا دوگان دوم جبرهای گروهی وابسته به گروه موضعا فشرده ی g مانند luc(g), l1(g) و wap(g) را مورد مطالعه قرار می دهیم.همچنین یک مشخصه سازی از برگشت دلخواه روی جبر گروهی l1(g ) و جبر اندازه ی(g) m وابسته به g را ارایه می دهیم و شرط برابری این برگشت دلخواه را با برگشت طبیعی روی l1(g) بیان می کنیم. در پایان به بررسی نمایش ا و تابعک های مثبت و نیز ارتباط آن ها را با توابع معین مثبت وابسته به این برگشت دلخواه می پردازیم.