در این پایان نامه مفاهیم مقدماتی از توسیع میدان ها و نظریه اعداد جبری را مطالعه می کنیم. سپس به بررسی قدرمطلق هاو نظریه ارزیاب ها و میدان های کامل می پردازیم.همچنین با توسیع ارزیاب v به یک توسیع از میدان درجه باقی مانده و شاخص انشعاب را تعیین می نمایم.به خصوص توسیع های بی نقص و سپس چند جمله ای های بی نقص راتعریف می کنیمو نیز با استفاده از تعریف زنجیرهای متمایز کامل ثابت های وابسته به چندجمله ای های بی نقص تعریف می شود.همچنین به معرفی دستگاه اکید چندجمله ای های تحویل ناپذیر می پردازیم و یک تناظر یک به یک میان دستگاه اکید چندجمله ای های تحویل ناپذیر و کلاس مزدوج زنجیر های متمایز کامل برقرار می کنیم که این تناظر به عنوان یک نتیجه ساده از نتایج متنوع برای دستگاه های اکید است.