این پایان نامه شامل مطالعه دو محور اصلی است. ابتدا به محاسبه هومولوژی مقاوم می پردازد. بدین نحو که هومولوژی یک مجتمع سادکی d- بعدی صافی شده همچون k را، با توجه به این که حلقه ضرایب را یک pid در نظر گرفتیم مورد مطالعه قرار می دهیم. سپس تناظری پایه گذاری خواهد شد که توصیف ساده ای روی میدان ها به ما می دهددر ادامه یک الگوریتم طبیعی برای محاسبه هومولوژی مقاوم روی یک میدان دلخواه ارایه می شود. حال آگر حلقه ای زمینه، میدان نباشدتناظر مذکور طبقه بندی ساده ای را به ما نخواهد داد لذا ما یک الگوریتم برای محاسبه ی گروه های هومولوژی روی یک pid دلخواه معرفی می کنیم. با این فرآیند هومولوژی مقاوم، توپولوژی یک صافی را بر حسب یک پایای گسسته کامل، یعنی یک مجموعه ی چند گانه از بازه ها معرفی می کند. بخش بعدی این پایان نامه به مطالعه نظریه ی مقاومت چند بعدی اختصاص داده شده است. در بسیاری از کاربدهای توپولوژیکی نیاز به مطالعه ی یک صافی چندگانه داریم یعنی خانواده ای از فضاها که در ابعاد هندسی چندگانه پارامتری شده اند. در این حالت خواهیم دید که هیچ پایای گسسته ی کاملی مشابه با مقاومت یک بعدی، وجود ندارد بنابراین پایانی رتبه معرفی می شود. پایای رتبه، یک پایای گسسته برای تخمین اعداد بتی در یک صافی چندگانه می باشد. در نهایت، کامل بودن پایای رتبه، در بعد یک، ثابت می شود.